# Problema Para cada um dos sinais seguintes, determine todos os valores da variável independente para os quais se pode garantir que o valor da componente par do sinal é nula. (a) $x_1(n) = u(n) - u(n-4)$ (b) $x_2(t) = \sin(\frac{1}{2} t)$ (c) $x_3(n) = \left( \frac{1}{2} \right)^n u(n-3)$ (d) $x_4(t) = e^{-5t} u(t + 2)$ > [!Solução]- > > (a) $x_1(n) = u(n) - u(n-4)$ > $ > x_{1e}(n) = 0, \; n<-3 \lor n>3 > $ > > (b) $x_2(t) = \sin(\frac{1}{2} t)$ > $ > x_{2e}(t)=0,\; \forall t \in \mathbb{R} > $ > > (c) $x_3(n) = \left( \frac{1}{2} \right)^n u(n-3)$ > $ > x_{3e}(n)=0,\; -2<n<2 > $ > > (d) $x_4(t) = e^{-5t} u(t + 2)$ > $ > x_{4e}(t)\neq 0, \forall t \in \mathbb{R} > $ > > [!Resolução detalhada]- > > (a) $x_1(n) = u(n) - u(n-4)$ > A componente par será > $ > \begin{align} > x_{1e}(t) &= \frac{1}{2} [ x_{1}(t) + x_{1}^\ast(-t) ]\\ \\ > &= \frac{1}{2} [u(n) - u(n-4) + u(-n) - u(-n-4)]\\ \\ > &= \frac{1}{2}[\delta(n)+1-u(-n-4)-u(n-4)]\\ \\ > &= \frac{1}{2}[\delta(n)+u(n+3)-u(n-4)] > \end{align} > $ > ou seja: > $ > x_{1e}(n) = 0, \; n<-3 \lor n>3 > $ > > (b) $x_2(t) = \sin(\frac{1}{2} t)$ > A componente par é: > $ > x_{2e}(t) = \frac{1}{2} \left[ \sin\left( \frac{1}{2}t \right) + \sin\left(-\frac{1}{2}t \right)\right] > $ > Como $\sin()$ é uma função ímpar: > $ > x_{2e}(t) = \frac{1}{2} \left[ \sin\left( \frac{1}{2}t \right) - \sin\left(\frac{1}{2}t \right)\right] > $ > ou seja > $ > x_{2e}(t)=0,\; \forall t \in \mathbb{R} > $ > > (c) $x_3(n) = \left( \frac{1}{2} \right)^n u(n-3)$ > A componente par é: > $ > x_{3e}(n) = \frac{1}{2} \left[ \left( \frac{1}{2} \right)^{n}u(n-3)+\left( \frac{1}{2} \right)^{-n}u(-n-3)\right] > $ > O primeiro degrau unitário começa em $3$ e o segundo termina em $-3$, então > $ > x_{3e}(n)=0,\; -2<n<2 > $ > > (d) $x_4(t) = e^{-5t} u(t + 2)$ > A componente par é: > $ > x_{4e}(t) = \frac{1}{2} \left[e^{-5t}u(t+2)+e^{5t}u(-t+2)\right] > $ > O primeiro degrau unitário começa em $-2$ e o segundo termina em $2$, então > $ > x_{4e}(t)\neq 0, \forall t \in \mathbb{R} > $ > [[ss-imp-o22ef tvi degrau e impulso discreto]] < [[1-4 Impulso e degrau unitário (ss-imp)]]