# Problema Determine a resposta do sistema linear e invariante no tempo com resposta ao impulso: $h(t) = e^{-a t} u(t), a>0$ ao sinal de entrada: $x(t) = e^{-b t} u(t), b>0$ > [!Solução]- > $y(t) = \frac{1}{b-a} [e^{-at} - e^{-bt}] u(t)$ > > [!Resolução detalhada]- > Usando a [[TFTC da exponencial real]]: > $e^{-at} u(t), a\gt0 \xrightarrow[\cal TFTC]{} \frac{1}{a+j\omega}$ > > e a [[propriedade da convolução da TFTC]] > $y(t) = h(t) \ast x(t) > \xrightarrow[\cal TFTC]{} > Y(j\omega) = H(j\omega) X(j\omega)$ > > É fácil concluir que: > $Y(j\omega) = \frac{1}{a+j\omega} \frac{1}{b+j\omega}$ > > Decompondo em frações simples: > $Y(j\omega) = \frac{A}{a+j\omega} + \frac{B}{b+j\omega}$ > Resulta em > $\begin{cases} > Ab + Ba = 1\\ > Aj\omega + Bj\omega = 0 > \end{cases}$ > Ou seja > $A=-B=\frac{1}{b-a}$ > $Y(j\omega) = \frac{1}{b-a}\frac{1}{a+j\omega} - \frac{1}{b-a}\frac{1}{b+j\omega}$ > Aplicando a transforma inversa: > $\frac{1}{a+j\omega} \xrightarrow[\cal TFTC^{-1}]{} e^{-at} u(t), a\gt0$ > > Resulta em > $y(t) = \frac{1}{b-a} [e^{-at} - e^{-bt}] u(t)$ > [[4-4 Propriedade da Convolução da TFTC (conv)]] > [[tftc-conv-a02 entrada a partir da saída]]