# Problema Considere um SLIT estável caracterizado pela seguinte equação diferencial: $\frac{d^2 y(t)}{d t^2} +4 \frac{d y(t)}{d t} +3y(t) = \frac{d x(t)}{d t} + 2 x(t)$ Determine a resposta ao impulso deste sistema. > [!Solução]- > $h(t) = \frac{1}{2} [e^{-t} + e^{-3t}] u(t)$ > [!Resolução detalhada]- > > Aplicando a [[propriedade da diferenciação da TFTC]] à equação diferencial: > $-\omega^2Y(j\omega) -4j \omega Y(j\omega) + 3 Y(j\omega) = j\omega X(j\omega) + 2X(j\omega)$ > > Usando a [[propriedade da convolução da TFTC]]: > $y(t) = h(t) \ast x(t) > \xrightarrow[\cal TFTC]{} > Y(j\omega) = H(j\omega) X(j\omega)$ > > Conclui-se que: > $H(j\omega)=\frac{Y(j\omega)}{X(j\omega)}$ > > ou seja > $H(j\omega)=\frac{j\omega+2}{-\omega^2+4j\omega+3}$ > > decompondo em frações simples > $H(j\omega)=\frac{1/2}{1+j\omega} + \frac{1/2}{3+j\omega}$ > usando o par de Fourier: > $e^{-at} u(t), a\gt0 \xrightarrow[\cal TFTC]{} \frac{1}{a+j\omega}$ > > obtém-se a resposta ao impulso > $h(t) = \frac{1}{2} [e^{-t} + e^{-3t}] u(t)$ > [[4-3 Propriedades da TFTC (props)]] > [[tftc-props-a03 inv, desloc, derivada]]