# Problema Calcular a transformada de Fourier de: $x(t) = e^{-a|t|}, a>0$ > [!Solução]- > $X(j\omega)=\frac{2a}{a^2+\omega^2}$ > > [!Resolução detalhada]- > Método 1: usando a definição da [[transformada de Fourier de tempo contínuo (TFTC)]]: > $X(j\omega) = \int_{-\infty}^{0} e^{at} e^{-j\omega t} dt + \int_{0}^{+\infty} e^{-at} e^{-j\omega t} dt$ > $X(j\omega) = \frac{1}{a + j\omega} + \frac{1}{a - j\omega}$ > $X(j\omega) = \frac{2a}{a^2 + \omega^2}$ > Método 2: usando as propriedades: > $x(t) = e^{at}u(-t) + e^{-at}u(t)$ > > ou seja > $x(t) = x_1(-t) + x_1(t)$ > recorrendo às [[propriedade da inversão temporal da TFTC]] > $X(j\omega)=X_1(-j\omega)+X_1(j\omega)$ > > Usando a [[TFTC da exponencial real]]: > $x_1(t)=e^{-a t} u(t), a \gt 1 \xrightarrow[\cal TFTC]{} X_1(j\omega)=\frac{1}{a+j\omega}$ > obtém-se: > $X(j\omega)= > \frac{1}{a-j\omega} > + \frac{1}{a+j\omega}$ > que resulta em > $X(j\omega)=\frac{2a}{a^2+\omega^2}$ > > [[4-3 Propriedades da TFTC (props)]] > [[tftc-props-o21b seno amortecido par]]