# Problema Calcular a transformada de Fourier de: $x(t) = e^{-a|t|}, a>0$ ## Solução $X(j\omega)=\frac{2a}{a^2+\omega^2}$ ## Resolução detalhada usando a definição: $X(j\omega) = \int_{-\infty}^{0} e^{at} e^{-j\omega t} dt + \int_{0}^{+\infty} e^{-at} e^{-j\omega t} dt$ $X(j\omega) = \frac{2a}{a^2 + \omega^2}$ usando as propriedades: $x(t) = e^{at}u(-t) + e^{-at}u(t)$ ou seja $x(t) = x_1(-t) + x_1(t)$ recorrendo às [[propriedade da inversão temporal da TFTC]] $X(j\omega)=X_1(-j\omega)+X_1(j\omega)$ Usando a [[TFTC da exponencial real]]: $x_1(t)=e^{-a t} u(t), a \gt 1 \xrightarrow[\cal TFTC]{} X_1(j\omega)=\frac{1}{a+j\omega}$ obtém-se: $X(j\omega)= \frac{1}{a-j\omega} + \frac{1}{a+j\omega}$ que resulta em $X(j\omega)=\frac{2a}{a^2+\omega^2}$