# Problema Determine a equação dos sinais de tempo contínuo cuja transformada de Fourier vale: a) $\forall \omega \in \mathbb{R}: X_1(j\omega) = 2\pi \delta(\omega) + \pi \delta(\omega - 4\pi) + \pi \delta(\omega + 4\pi)$ b) $\forall \omega \in \mathbb{R}: X_2(j\omega) = \begin{cases} -2, & -2 \le \omega < 0 \\ 2, & 0\le \omega \le 2 \\ 0, & |\omega| > 2 \end{cases}$ > [!Solução]- > a) > $ > x_1(t) = 1 + \cos(4\pi t) > $ > > b) > $ > x_2(t) = \frac{4j\sin^2(t)}{\pi t} > $ > > [!Resolução detalhada]- > a) > $ > \begin{align} > x_1(t) &= \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} X_1(j \omega) e^{j \omega t} d\omega \\ > &= \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} [2\pi > \delta(\omega) + \pi \delta(\omega - 4\pi) + \pi \delta(\omega + > 4\pi)] e^{j\omega t} d\omega \\ > &= \int_{-\infty}^{+\infty} \delta(\omega) d\omega + \frac{e^{j 4 \pi t}}{2}\int_{-\infty}^{+\infty} \delta(\omega - 4\pi) d\omega + \frac{e^{-j 4 \pi t}}{2}\int_{-\infty}^{+\infty} \delta(\omega + 4\pi) d\omega \\ > &= 1 + \frac{e^{j 4\pi t}+e^{-j 4\pi t}}{2} > \end{align} > $ > ou seja: > $ > x_1(t) = 1 + \cos(4\pi t) > $ > > b) > $ > \begin{align} > x_2(t) &= \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} X_2(j \omega) e^{j \omega t} d\omega \\ > &= \frac{1}{2\pi} \left[ \int_{-2}^{0} (-2) e^{j \omega t} d\omega + \int_{0}^{2} 2 e^{j \omega t} d\omega\right] \\ > &= \frac{1}{\pi} \left[ -\frac{e^{j\omega t}}{jt} \right]_{-2}^{0} + \frac{1}{\pi} \left[ \frac{e^{j\omega t}}{jt} \right]_{0}^{2} \\ > &= \frac{1}{j\pi t} (e^{-j 2t}-1+e^{j 2t} -1) \\ > & = \frac{1}{j\pi t} (e^{j 2t}-2+e^{-j 2t}) \\ > & = \frac{1}{j\pi t} (e^{jt}-e^{-jt})^{2} \\ > & = \frac{-4}{j\pi t} \left( \frac{e^{jt}-e^{-jt}}{2j} \right)^{2} > \end{align} > $ > ou seja > $ > x_2(t) = \frac{4j\sin^2(t)}{\pi t} > $ > [[tftc-repr-a03 exponenciais deslocadas]] < [[4-1 Representação de Sinais Aperiódicos (repr)]] > [[tftc-repr-o21a cosseno amortecido]]