# Problema Considere o sinal $x(t)$ com a seguinte transformada de Fourier: $ X(j\omega) = \begin{cases} 1, &|\omega| < W \\ 0, & |\omega|> W \end{cases} $ Determine uma expressão para $x(t)$ > [!Solução]- > $ > x(t) = \frac{\sin(Wt)}{\pi t} > $ > > [!Resolução detalhada]- > Usando a equação de síntese da [[transformada de Fourier de tempo contínuo (TFTC)]]: > $ > \begin{align} > x(t) &= \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} X(j\omega) e^{j\omega t}\, d\omega \\ > &= \frac{1}{2\pi} \int_{-W}^{+W} e^{j\omega t}\, d\omega \\ > &= \frac{1}{2\pi}\left[ \frac{e^{j\omega t}}{j t} \right]_{-W}^{W} \\ > &= \frac{1}{\pi t} \frac{e^{jWt}-e^{-jWt}}{2j} > \end{align} > $ > recorrendo à [[fórmula de Euler]] do seno: > $ > x(t) = \frac{\sin(Wt)}{\pi t} > $ > obtemos assim mais um par da TFTC: > $ > \frac{\sin(Wt)}{\pi t} \xrightarrow[\cal TFTC]{} \begin{cases} > 1, & |\omega|<W \\ > 0, & |\omega|>W > \end{cases} > $ > > [[tftc-repr-o21d pente de impulsos amortecidos]] < [[4-1 Representação de Sinais Aperiódicos (repr)]]