Na análise da [[resposta no tempo de sistemas de 2ª ordem]] caracterizou-se [[sistema de 2ª ordem de tempo contínuo]] por uma equação diferencial de coeficientes constantes de segunda ordem na forma: $ \frac{d^2y(t)}{dt^2}+2\zeta \omega_{n} \frac{dy(t)}{dt} +\omega_{n}^2 y(t) = \omega_{n}^2 x(t) $ em que $\omega_{n}$ é a [[frequência natural]] e $\zeta$ o [[coeficiente de amortecimento]] do sistema. Aplicando a [[propriedade da diferenciação da TFTC]] pode obter-se a [[resposta em frequência]] do sistema na seguinte forma: $ H(j\omega)=\frac{1}{\left( j \frac{\omega}{\omega_{n}} \right)^2 + 2\zeta \left( j \frac{\omega}{\omega_{n}} \right) + 1} $ A resposta em frequência pode ser representada na forma de [[diagramas de Bode]]. Para isso convertemos o módulo para um valores em [[decibel (dB)]]: $ 20\log_{10}|H(j\omega)| = -10 \log_{10}\left[ \left( 1- (\omega/\omega_{n})^2 \right)^2 + 4 \zeta ( \omega/\omega_{n})^2 \right] $ Para esboçar o diagrama de amplitude determinam-se os valores assintóticos quando $\omega \ll \omega_{n}$ e quando $\omega \gg \omega_{n}$: $ 20 \log_{10}|H(j\omega)| \approx \begin{cases} 0, & \omega \ll \omega_{n} \\ -40 \log_{10}(\omega) + 40 \log_{10}(\omega_{n}), & \omega\gg \omega_{n} \end{cases} $ O valor de $\zeta$ define o tipo de amortecimento e a possibilidade de sobre-elevação da resposta em frequência na vizinhança da frequência $\omega_{n}$: - $\zeta>1$: [[sistema sobre-amortecido]], não há sobre-elevação - $\zeta=1$: [[sistema criticamente amortecido]], não há sobre-elevação - $0<\zeta<1$: [[sistema sub-amortecido]], há sobre-elevação para a fase da resposta em frequência: $ \angle H(j\omega)= -\tan^{-1}\left( \frac{2\zeta \frac{\omega}{\omega_{n}}}{1-\left( \frac{\omega}{\omega_{n}} \right)^2} \right) $ pode-se fazer a seguinte aproximação assintótica: $ \angle H(j\omega) \approx \begin{cases} 0, &\omega\le \frac{\omega_{n}}{10}\\ -\frac{\pi}{2} \left[ \log_{10}\left( \frac{\omega}{\omega_{n}} \right)+1 \right], & \frac{\omega_{n}}{10}\le \omega \le 10 \omega_{n} \\ -\pi, & \omega\ge 10 \omega_{n} \end{cases} $ Na frequência de corte $\omega_{c}=\omega_{n}$: $ \angle H\left( j \omega_{n}\right)=- \frac{\pi}{2} $ Representando graficamente os diagramas de Bode: ![[diagramas-bode-ordem-2.svg]] Esta resposta em frequência pode também explicada através da [[interpretação geométrica da TFTC de sistemas de 2ª ordem]]. [[resposta no tempo de sistemas de 2ª ordem]] < [[6-5 Sistemas em tempo contínuo de primeira e segunda ordem (eqdifs)]]