# Problema Na figura seguinte, assume-se que $X_c(j\omega)=0,|\omega|\geq\pi/T_1$. ![[amost2w.svg]] Para o caso geral em que $T_1 \not= T_2$ expresse $y_c(t)$ em termos de $x_c(t)$. A relação é diferente para $T_1>T_2$ e $T_1<T_2$? > [!Solução]- > $y_c(t) = x_c\left(\frac{T_1}{T_2}t\right)$ > Se $T_1 \gt T_2$ o sinal $y_c(t)$ é uma compressão temporal de $x_c(t)$. > > Se $T_1 \lt T_2$ o sinal $y_c(t)$ é uma expansão temporal de $x_c(t)$. > > [!Resolução detalhada]- > Usando a [[relação entre transformadas de tempo contínuo e discreto]] da [[conversão contínuo-discreto]] com $T=T_1$ > > $X_d(e^{j\Omega}) = \frac{1}{T_1} \sum_{k=-\infty}^{+\infty} X_c \left(j\frac{\Omega-2\pi k}{T_1} \right)$ > por outro lado, a [[conversão discreto-contínuo]] é feita com $T=T_2$: > $Y_c(j\omega)=\begin{cases} > T_2 Y_d(e^{j\omega T_2}),& |\omega| \lt \pi/T_2\\ > 0,& \text{caso contrário} > \end{cases}$ > substituindo fica: > $Y_c(j\omega)=\frac{T_2}{T_1} X_c\left(j\frac{T_2}{T_1}\omega\right)$ > usando a [[propriedade do escalamento temporal da TFTC]]: > $x(a t) > \xrightarrow[\cal TFTC]{} > \frac{1}{|a|} X\left(\frac{j\omega}{a}\right)$ > vem que: > $y_c(t) = x_c\left(\frac{T_1}{T_2}t\right)$ > > Se $T_1 \gt T_2$ o sinal $y_c(t)$ é uma compressão temporal de $x_c(t)$. > > Se $T_1 \lt T_2$ o sinal $y_c(t)$ é uma expansão temporal de $x_c(t)$. > > > **Resolução alternativa**: > Nas condições do teorema de amostragem e sendo os sistemas de amostragem e reconstrução ideais: > $ > y_{c}(nT_{2}) = x_{c}(nT_{1}) > $ > nesse caso podemos fazer $t=nT_{2}$ ou seja, $n=\frac{t}{T_{2}}$: > $ > y_{c}(t) = x_{c}\left( \frac{T_{1}}{T_{2}} t\right) > $ [[amost-proc-o11 relação entre transformadas]] < [[7-4 Processamento em tempo discreto de sinais em tempo contínuo (proc)]] > [[amost-proc-a02 rejeita-banda]]