# Problema (Retirado de O&W 7.11) Sendo $x_c(t)$ um sinal de tempo contínuo em que a transformada de Fourier tem a propriedade: $X_c(j\omega)=0, \text{para} |\omega| \gt 2000\pi$ Com base neste sinal obtém-se o sinal de tempo discreto: $x_d(n) = x_c(nT)$ em que $T=0.5 \mu s$. Para cada uma das restrições de $X_d(e^{j\omega})$, a transformada de Fourier de $x_d(n)$, determine a correspondente restrição em $X_c(j\omega)$: a) $X_d(e^{j\omega})$ é real b) O valor máximo de $X_d(e^{j\omega})$ é 1 c) $X_d(e^{j\omega})=0$ para $3\pi/4 \le |\omega| \le \pi$ d) $X_d(e^{j\omega})$ = $X_d(e^{j(\omega-\pi)})$ ## Solução a) $X_{c}(j\omega)$ é real b) $\text{max}(X_{c}(j\omega)) = 0.5$ c) $X_c(j\omega)=0$ para $1500\pi \le |\omega| \le 2000\pi$ d) $X_c(j\omega)=\begin{cases} X_c(j(\omega + 2000\pi)),& -2000 \pi \lt \omega \lt 0\\ X_c(j(\omega - 2000\pi)),& 0\lt \omega \lt 2000\pi\\ 0,& \text{caso contrário} \end{cases}$ ## Resolução detalhada Se $T=500 \mu s$ então a frequência de amostragem é $\omega_s = 2\pi/T = 4000\pi$ ou seja exatamente o dobro da frequência máxima do sinal. Usando a [[relação entre transformadas de tempo contínuo e discreto]]: $X_d(e^{j\Omega}) = \frac{1}{T} \sum_{k=-\infty}^{+\infty} X_c \left(j\frac{\Omega-2\pi k}{T} \right)$ Como $X_c(j\omega)$ é um [[sinal de banda limitada]] é possível inverter a equação considerando apenas $k=0$: $X_c(j\omega)=\begin{cases} T X_d(e^{j\omega T}),& |\omega| \lt \pi/T\\ 0,& \text{caso contrário} \end{cases}$ Sendo assim: a) Se $X_d(e^{j\omega})$ é real então $X_c(j\omega)$ também o será b) O valor máximo de $X_d(e^{j\omega})$ é 1, o então $X_c(j\omega)$ terá o valor máximo de $T$ c) $X_d(e^{j\Omega})=0$ para $3\pi/4 \le |\Omega| \le \pi$, então, como $\omega = \Omega/T$ , vem: $X_c(j\omega)=0$ para $3\pi/(4 T) \le |\omega| \le \pi/T$ ou seja $1500\pi \le |\omega| \le 2000\pi$ d) $X_d(e^{j\Omega}) = X_d(e^{j(\Omega-\pi)})$ então: $X_c(j\omega)=\begin{cases} X_c(j(\omega +\pi/T)),& -\pi/T \lt \omega \lt 0\\ X_c(j(\omega -\pi/T)),& 0\lt \omega \lt \pi/T\\ 0,& \text{caso contrário} \end{cases}$ ou seja: $X_c(j\omega)=\begin{cases} X_c(j(\omega + 2000\pi)),& -2000 \pi \lt \omega \lt 0\\ X_c(j(\omega - 2000\pi)),& 0\lt \omega \lt 2000\pi\\ 0,& \text{caso contrário} \end{cases}$