# Problema (Retirado de O&W 7.42) Considere un sinal de tempo contínuo de banda limitada $x_{c}(t)$ que é amostrado a um ritmo superior à frequência de Nyquist. As amostras espaçadas de $T$ segundos são convertidas numa sequência $x(n)$: $ x(n) = x_{c}(nT) $ Determine a relação entre a energia $E_d$ da sequência $x(n)$: $ E_{d} = \sum_{n=-\infty}^{+\infty}|x(n)|^2 $ com a energia $E_{c}$ do sinal original de tempo contínuo $x_{c}(t)$ $ E_{c} = \int_{-\infty}^{+\infty} |x_{c}(t)|^2 dt $ ## Solução $ E_{d} = \frac{1}{T} E_{c} $ ## Resolução detalhada Usando a [[relação de Parseval da TFTC]]: $E_{c} = \int_{-\infty}^{+\infty} |x_{c}(t)|^2 dt = \frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{+\infty} |X_{c}(j\omega)|^2 d\omega$ Como o sinal $x_{c}(t)$ é um [[sinal de banda limitada]] $ X_{c}(j\omega) = 0, \omega > \frac{\pi}{T} $ $E_{c} = \frac{1}{2 \pi} \int_{-\pi/T}^{+\pi/T} |X_{c}(j\omega)|^2 d\omega$ Por outro lado podemos usar a [[relação de Parseval da TFTD]]: $E_{d} = \sum_{n = -\infty}^{\infty} | x(n) |^2 = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} |X(e^{j\Omega})|^2 d\Omega$ nota: usamos $\Omega$ para a representação em frequência do sinal de tempo discreto. Da [[relação entre transformadas de tempo contínuo e discreto]]: $ X_d(e^{j\Omega}) = \frac{1}{T} X_{c}\left( \frac{j\Omega}{T} \right), -\pi<\Omega<\pi $ fica $ E_{d} = \frac{1}{2\pi T^2} \int_{-\pi}^{+\pi} \left| X_{c}\left( \frac{j\Omega}{T} \right) \right|^2 d\Omega $ Fazendo uma mudança de variável $\omega = \frac{\Omega}{T}$ ($d\Omega=T d\omega$) $ E_{d} = \frac{1}{2\pi T} \int_{-\pi/T}^{+\pi/T} \left| X_{c}\left( j \omega \right) \right|^2 d\omega $ Comparando com a expressão de $E_c$ é fácil concluir: $ E_{d} = \frac{1}{T} E_{c} $