# Problema Um sinal em tempo contínuo $x_c(t)$, com a transformada de Fourier $X_c(j\omega)$ da figura: ![[amost-rec-a01-img.svg]] é amostrado com um período de $T=2\pi/\omega_0$ para formar a sequência $x(n) = x_c(nT)$. a) Esboce a transformada de Fourier $X(e^{j\omega})$ para $|\omega|<\pi$. b) O sinal $x(n)$ destina-se a ser transmitido por um canal digital. No receptor, tem de ser possível reconstruir o sinal original. Desenhe um diagrama de blocos do sistema de reconstrução e especifique as suas características. Suponha que dispõe de filtros ideais. c) Para que gama de valores de $T$ em função de $\omega_0$ pode $x_c(t)$ ser recuperado a partir de $x(n)$? > [!Solução]- > a) A transformada de Fourier $X(j\omega)$ será: > ![[amost-rec-a01-sol-a.excalidraw.svg]] > > b) > ![[amost-rec-a01-sol-b1.excalidraw.svg]] > > > c) > $T < \frac{\pi}{\omega_0} \lor T = \frac{2\pi}{\omega_{0}}$ > > [!Resolução detalhada]- > a) > Como $T=2\pi/\omega_0$ então a frequência de amostragem é $\omega_s = 2\pi/T$ ou seja $\omega_s=\omega_0$ o que parece estar fora das condições do [[teorema da amostragem]]: > > ![[amost-rec-a01-res-a.excalidraw.svg]] > Este último esboço é o de $X(e^{j\omega})$ > > b) > Apesar de não estar nas condições do teorema de amostragem, é possível recuperar o sinal porque a banda útil do sinal é metade da frequência de amostragem. Desta forma seria possível reconstruir o sinal original com um filtro passa-banda com banda de passagem $[\omega_s/2, \omega_s]$: > > ![[amost-rec-a01-sol-b.excalidraw.svg]] > O diagrama de blocos será: > ![[amost-rec-a01-sol-b1.excalidraw.svg]] > > c) > O sinal pode ser recuperado para $\omega_s=\omega_0$ e nas condições do teorema da amostragem ($\omega_s > 2\omega_0$, frequência amostragem superior ao dobro da frequência máxima do sinal), ou seja: > $T < \frac{\pi}{\omega_0} \lor T = \frac{2\pi}{\omega_{0}}$ > > [[7-2 Utilização da interpolação para a reconstrução do sinal (rec)]] > [[amost-rec-a02 filtro de reconstrução ideal]]