# Problema Considere o filtro passa-baixo ideal com ganho $T$ na banda de passagem: $ H_{r}(j\omega) = \begin{cases} T, \, |\omega| < \omega_{c} \\ 0,\, |\omega| > \omega_{c} \end{cases} $ em que $\omega_{c}$ é a frequência de corte do filtro. a) Determine $h_{r}(t)$, a resposta ao impulso deste filtro. b) Se este filtro for usado para a reconstrução de um sinal amostrado, a frequência de corte deve corresponder a metade da frequência de amostragem $\omega_{c} = \omega_{s} = \pi / T$. Determine a resposta ao impulso nesta situação. > [!Solução]- > a) > $ > h_{r}(t) = T \frac{\sin(\omega_{c} t)}{\pi t} > $ > b) > $ > h_{r}(t) = T \frac{\sin\left( \frac{\pi t}{T} \right)}{\pi t} > $ > > [!Resolução detalhada]- > > a) A resposta ao impulso é a [[transformada de Fourier de tempo discreto (TFTD)]] inversa da [[resposta em frequência]] do filtro: > $ > \begin{align} > h_{r}(t) &= \frac{1}{2\pi} \int _{-\infty}^{+\infty} H_{r}(j\omega) e^{j\omega t} \, dw \\ > &= \frac{1}{2\pi} \int _{-\omega_{c}}^{\omega_{c}} T e^{j\omega t}\, dw \\ > & = \frac{T}{2\pi} \left[ \frac{e^{j\omega t}}{j t} \right]_{-\omega_{c}}^{\omega_{c}} \\ > &= \frac{T}{2\pi} \left( \frac{e^{j\omega_{c} t}}{jt} - \frac{e^{-j\omega_{c} t}}{jt}\right) \\ > &= \frac{T}{\pi t} \frac{e^{j\omega_{c} t}-e^{-j\omega_{c} t}}{2 j} \\ > &= \frac{T}{\pi t} \sin(\omega_{c} t) > \end{align} > $ > ou seja > $ > h_{r}(t) = T \frac{\sin(\omega_{c} t)}{\pi t} > $ > > b) fazendo $\omega_{c} = \pi / T$: > $ > h_{r}(t) = \frac{\sin\left( \frac{\pi t}{T} \right)}{\frac{\pi t}{T}} > $ > que corresponde à resposta ao impulso de um sistema não-causal com $h_{r}(0)=1$ e $h_{r}(kT)=0$ para $k$ inteiro diferente de zero. > > ![[sincw.svg]] > [[amost-rec-a01 sinal passa-banda]] < [[7-2 Utilização da interpolação para a reconstrução do sinal (rec)]]