O método dos resíduos é uma forma eficiente de determinar os termos dos numeradores da [[decomposição em frações simples]].
O método aplica-se a uma [[função racional própria]] na forma:
$
G(s) = \frac{N(s)}{D(s)}
$
em que $N(s)$ e $D(s)$ são, respetivamente, os polinómios do numerador e do denominador. Ser uma função racional própria significa que o grau de $D(s)$ é superior ao de $N(s)$, ou seja:
$
G(s) = \frac{b_{n-1}s^{n-1}+\dots+b_{0}}{s^{n}+a_{n-1}s^{n-1}+\dots+a_{0}}
$
Esta forma é adequada, por exemplo, para a decomposição da [[função de transferência]] de um sistema de tempo contínuo. Para funções de tempo discreto deve-se usar o caso particular do [[método dos resíduos para tempo discreto]].
## Raízes simples
No caso em que as raízes do polinómio do denominador são simples, a decomposição toma a forma:
$
G(s)=\frac{N(s)}{(s-s_{1})(s-s_{2})\ldots (s-s_{p})} = \frac{A_{1}}{s-s_{1}}+\frac{A_{2}}{s-s_{2}}+\ldots+\frac{A_{p}}{s-s_{p}}
$
Neste caso, os termos dos numeradores $A_{i}$ podem ser calculados por:
$
A_{i} = [(s-s_{i})G(s)]|_{s=s_{i}}
$
> [!Raíz simples]
> No caso de $G(s)$ ser uma função racional própria com um polinómio do denominador com raízes simples os numeradores são obtidos por:
> 1. Cancelar no denominador de $G(s)$ o termo correspondente à raiz simples $s_{i}$.
> 2. Calcular o valor da expressão resultante em $s=s_{i}$.
## Raiz dupla
No caso em que o polinómio do denominador tem uma raiz de ordem 2:
$
G(s) = \frac{N(s)}{(s-s_{i})^2} = \frac{A_{i1}}{s-s_{i}}+\frac{A_{i2}}{(s-s_{i})^2}
$
O numerador da fração simples de segunda ordem pode ser obtida pelo método anteriror
$
A_{i 2} = [(s-s_{i})^2G(s)]|_{s=s_{i}}
$
O numerado da fração simples de primeira ordem exige o cálculo de uma derivada:
$
A_{i 1} = \left. \left[ \frac{d}{ds} [(s-s_{i})^2G(s)] \right] \right|_{s=s_{i}}
$
> [!Raíz dupla]
> No caso de $G(s)$ ser uma função racional própria com um polinómio do denominador com uma raiz dupla os numeradores são obtidos por:
> 1. Cancelar no denominador de $G(s)$ o termo correspondente à raiz dupla $s_{i}$.
> 2. Para obter $A_{i 2}$, calcular o valor da expressão resultante em $s=s_{i}$.
> 3. Para obter $A_{i 1}$, derivar a expressão resultante e calcular o valor em $s=s_{i}$.
## Raiz de qualquer ordem
No caso em que o polinómio do denominador tem uma raiz de ordem q:
$
G(s)=\frac{N(s)}{(s-s_{i})^q} = \frac{A_{i1}}{s-s_{i}}+\frac{A_{i2}}{(s-s_{i})^2}+\ldots+\frac{A_{iq}}{(s-s_{i})^q}
$
Os numeradores $A_{i k}$ calculam-se pela expressão:
$
A_{i k} = \left. \frac{1}{(q-k)!} \left[ \frac{d^{(q-k)}}{ds^{(q-k)}} [(s-s_{i})^q G(s)] \right] \right|_{s=s_{i}}
$
## Referências
- [Decomposição em Frações Simples](http://users.isr.ist.utl.pt/~aguiar/Fraccoes%20Simples.pdf), Luís Borges de Almeida, março de 2012
[[9-3 A transformada de Laplace inversa (inv)]]