O método dos resíduos é uma forma eficiente de determinar os termos dos numeradores da [[decomposição em frações simples]].
O [[método dos resíduos para a decomposição em frações simples]] aplica-se a uma [[função racional própria]] na forma:
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G(s) = \frac{N(s)}{D(s)} = \frac{b_{n-1}s^{n-1}+\dots+b_{0}}{s^{n}+a_{n-1}s^{n-1}+\dots+a_{0}}
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que se pretende decompor na forma:
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G(s) = \sum_{i=1}^{p} \sum_{k=1}^{o_{i}} \frac{A_{ik}}{(s-s_{i})^{k}}
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Para sistemas de tempo discreto é mais útil fazer a decomposição na forma:
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G(z) = \sum_{i=1}^{p} \sum_{k=1}^{o_{i}} \frac{A_{ik}}{(1-z_{i}^{-1}z)^{k}}
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que corresponde a uma função racional na forma:
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G(z) = \frac{N(z)}{D(z)} = \frac{d_{n-1}z^{n-1}+\dots+d_{0}}{f_{n}z^{n}+f_{n-1}z^{n-1}+\dots+1}
$
em que os coeficientes de $N(z)$ e $D(z)$ são iguais aos de $N(s)$ e $D(s)$ divididos por $a_{0}$.
## Raízes simples
No caso em que as raízes do polinómio do denominador são simples, a decomposição toma a forma:
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G(z)=\frac{N(z)}{(1-z_{1}^{-1}z)(1-z_{2}^{-1}z)\ldots (1-z_{p}^{-1}z)} = \frac{A_{1}}{1-z_{1}^{-1}z}+\frac{A_{2}}{1-z_{2}^{-1}z}+\ldots+\frac{A_{p}}{1-z_{p}^{-1}z}
$
Neste caso, os termos dos numeradores $A_{i}$ podem ser calculados por:
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A_{i} = [(1-z_{i}^{-1}z)G(z)]|_{z=z_{i}}
$
> [!Raíz simples]
> No caso de $G(z)$ ser uma função racional própria com um polinómio do denominador com raízes simples os numeradores são obtidos por:
> 1. Cancelar no denominador de $G(z)$ o termo correspondente à raiz simples $z_{i}$.
> 2. Calcular o valor da expressão resultante em $z=z_{i}$.
## Raiz dupla
No caso em que o polinómio do denominador tem uma raiz de ordem 2:
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G(z) = \frac{N(z)}{(1-z_{i}^{-1}z)^2} = \frac{A_{i1}}{1-z_{i}^{-1}z}+\frac{A_{i2}}{(1-z_{i}^{-1}z)^2}
$
O numerador da fração simples de segunda ordem pode ser obtida pelo método anterior
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A_{i 2} = [(1-z_{i}^{-1}z)^2G(z)]|_{z=z_{i}}
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O numerado da fração simples de primeira ordem exige o cálculo de uma derivada:
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A_{i 1} = (-z_{i})\left. \left[ \frac{d}{dz} \left[(1-z_{i}^{-1}z)^2G(z) \right] \right] \right|_{z=z_{i}}
$
> [!Raíz dupla]
> No caso de $G(z)$ ser uma função racional própria com um polinómio do denominador com uma raiz dupla os numeradores são obtidos por:
> 1. Cancelar no denominador de $G(z)$ o termo correspondente à raiz dupla $z_{i}$.
> 2. Para obter $A_{i 2}$, calcular o valor da expressão resultante em $z=z_{i}$.
> 3. Para obter $A_{i 1}$, derivar a expressão resultante, calcular o valor em $z_{i}$ e multiplicar o resultado por $-z_{i}$.
## Raiz de qualquer ordem
No caso em que o polinómio do denominador tem uma raiz de ordem q:
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G(z)=\frac{N(z)}{(1-z_{i}^{-1}z)^q} = \frac{A_{i1}}{1-z_{i}^{-1}z}+\frac{A_{i2}}{(1-z_{i}^{-1}z)^2}+\ldots+\frac{A_{iq}}{(1-z_{i}^{-1}z)^q}
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Os numeradores $A_{i k}$ calculam-se pela expressão:
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A_{i k} = \left. \frac{(-z_{i})^{(q-k)}}{(q-k)!} \left[ \frac{d^{(q-k)}}{dz^{(q-k)}} [(1-z_{i}^{-1}z)^q G(z)] \right] \right|_{z=z_{i}}
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A resolução detalhada alínea b) do problema [[tftd-conv-o29 resposta a vários sinais]] mostra um exemplo de aplicação deste método.
## Referências
- [Decomposição em Frações Simples](http://users.isr.ist.utl.pt/~aguiar/Fraccoes%20Simples.pdf), Luís Borges de Almeida, março de 2012
[[9-3 A transformada de Laplace inversa (inv)]]