O método dos resíduos é uma forma eficiente de determinar os termos dos numeradores da [[decomposição em frações simples]]. O [[método dos resíduos para a decomposição em frações simples]] aplica-se a uma [[função racional própria]] na forma: $ G(s) = \frac{N(s)}{D(s)} = \frac{b_{n-1}s^{n-1}+\dots+b_{0}}{s^{n}+a_{n-1}s^{n-1}+\dots+a_{0}} $ que se pretende decompor na forma: $ G(s) = \sum_{i=1}^{p} \sum_{k=1}^{o_{i}} \frac{A_{ik}}{(s-s_{i})^{k}} $ Para sistemas de tempo discreto é mais útil fazer a decomposição na forma: $ G(z) = \sum_{i=1}^{p} \sum_{k=1}^{o_{i}} \frac{A_{ik}}{(1-z_{i}^{-1}z)^{k}} $ que corresponde a uma função racional na forma: $ G(z) = \frac{N(z)}{D(z)} = \frac{d_{n-1}z^{n-1}+\dots+d_{0}}{f_{n}z^{n}+f_{n-1}z^{n-1}+\dots+1} $ em que os coeficientes de $N(z)$ e $D(z)$ são iguais aos de $N(s)$ e $D(s)$ divididos por $a_{0}$. ## Raízes simples No caso em que as raízes do polinómio do denominador são simples, a decomposição toma a forma: $ G(z)=\frac{N(z)}{(1-z_{1}^{-1}z)(1-z_{2}^{-1}z)\ldots (1-z_{p}^{-1}z)} = \frac{A_{1}}{1-z_{1}^{-1}z}+\frac{A_{2}}{1-z_{2}^{-1}z}+\ldots+\frac{A_{p}}{1-z_{p}^{-1}z} $ Neste caso, os termos dos numeradores $A_{i}$ podem ser calculados por: $ A_{i} = [(1-z_{i}^{-1}z)G(z)]|_{z=z_{i}} $ > [!Raíz simples] > No caso de $G(z)$ ser uma função racional própria com um polinómio do denominador com raízes simples os numeradores são obtidos por: > 1. Cancelar no denominador de $G(z)$ o termo correspondente à raiz simples $z_{i}$. > 2. Calcular o valor da expressão resultante em $z=z_{i}$. ## Raiz dupla No caso em que o polinómio do denominador tem uma raiz de ordem 2: $ G(z) = \frac{N(z)}{(1-z_{i}^{-1}z)^2} = \frac{A_{i1}}{1-z_{i}^{-1}z}+\frac{A_{i2}}{(1-z_{i}^{-1}z)^2} $ O numerador da fração simples de segunda ordem pode ser obtida pelo método anterior $ A_{i 2} = [(1-z_{i}^{-1}z)^2G(z)]|_{z=z_{i}} $ O numerado da fração simples de primeira ordem exige o cálculo de uma derivada: $ A_{i 1} = (-z_{i})\left. \left[ \frac{d}{dz} \left[(1-z_{i}^{-1}z)^2G(z) \right] \right] \right|_{z=z_{i}} $ > [!Raíz dupla] > No caso de $G(z)$ ser uma função racional própria com um polinómio do denominador com uma raiz dupla os numeradores são obtidos por: > 1. Cancelar no denominador de $G(z)$ o termo correspondente à raiz dupla $z_{i}$. > 2. Para obter $A_{i 2}$, calcular o valor da expressão resultante em $z=z_{i}$. > 3. Para obter $A_{i 1}$, derivar a expressão resultante, calcular o valor em $z_{i}$ e multiplicar o resultado por $-z_{i}$. ## Raiz de qualquer ordem No caso em que o polinómio do denominador tem uma raiz de ordem q: $ G(z)=\frac{N(z)}{(1-z_{i}^{-1}z)^q} = \frac{A_{i1}}{1-z_{i}^{-1}z}+\frac{A_{i2}}{(1-z_{i}^{-1}z)^2}+\ldots+\frac{A_{iq}}{(1-z_{i}^{-1}z)^q} $ Os numeradores $A_{i k}$ calculam-se pela expressão: $ A_{i k} = \left. \frac{(-z_{i})^{(q-k)}}{(q-k)!} \left[ \frac{d^{(q-k)}}{dz^{(q-k)}} [(1-z_{i}^{-1}z)^q G(z)] \right] \right|_{z=z_{i}} $ A resolução detalhada alínea b) do problema [[tftd-conv-o29 resposta a vários sinais]] mostra um exemplo de aplicação deste método. ## Referências - [Decomposição em Frações Simples](http://users.isr.ist.utl.pt/~aguiar/Fraccoes%20Simples.pdf), Luís Borges de Almeida, março de 2012 [[9-3 A transformada de Laplace inversa (inv)]]