Uma das principais utilidades da transformada de Laplace é a resolução de [[equações diferenciais de coeficientes constantes]]: $\sum_{k=0}^{N} a_k \frac{d^k y(t)}{d t^k} = \sum_{k=0}^{M} b_k \frac{d^k x(t)}{d t^k}$ A aplicação da propriedade da [[propriedade da diferenciação no tempo da TL]] a [[SLITs caracterizados por equações diferenciais]] resulta em: $\sum_{k=0}^{N} a_k s^k Y(s) = \sum_{k=0}^{M} b_k s^k X(s)$ Este resultado assume condições iniciais nulas, ou seja, que o sistema está em repouso inicial, o que pode não ser sempre o caso. A utilização da [[transformada de Laplace unilateral (TLU)]] e da propriedade da [[propriedade da diferenciação no tempo da TLU]]: $\frac{d y(t)}{dt} \xrightarrow[\cal LU]{} s \cal Y(s) - y(0^{-})$ Tem em consideração as condições iniciais do sistema ($y(0^{-})$). O problema [[tl-tlu-a04 condições iniciais]] mostra como resolver uma equação diferencial com condições iniciais não nulas. [[propriedade da diferenciação no tempo da TLU]] < [[9-9 A transformada de Laplace unilateral (tlu)]]