# Problema (Retirado de O&W 9.35) A entrada $x(t)$ e a saída y(t) de um SLIT causal relacionam-se através do diagrama de blocos seguinte: ![[tl-dbl-o35.svg|400]] a) Determine a equação diferencial que relaciona $y(t)$ com $x(t)$ b) O sistema é estável? > [!Solução]- > a) > $ > \frac{d^2y(t)}{dt^2}+2 \frac{dty(t)}{dt}+y(t) = \frac{d^2x(t)}{dt^2}-\frac{dx(t)}{dt}-6x(t) > $ > b) o sistema é estável. > > [!Resolução detalhada]- > a) O diagrama apresentado é um [[diagrama de blocos na forma direta]]. > > Considerando o sinal $z(t)$ indicado no diagrama de blocos tem-se: > $ > \begin{aligned} > s^2 Z(s) &= X(s) -2 sZ(s) - Z(s)\\ > Y(s) &= s^2 Z(s) - s Z(s) -6 Z(s) > \end{aligned} > $ > ou seja > $ > \begin{aligned} > Z(s) &= \frac{1}{s^2 +2s +1}X(s)\\ > Y(s) &= (s^2 - s -6) Z(s) > \end{aligned} > $ > Que resulta na seguinte função de transferência: > $ > H(s)= \frac{Y(s)}{X(s)} =\frac{s^2-s-6}{s^2+2s+1} > $ > > Resolvendo: > $ > s^2 Y(s) + 2s Y(s) + Y(s) = s^2 X(s) - s X(s) -6 X(s) > $ > > Usando a propriedade da [[propriedade da diferenciação no tempo da TL]] obtém-se a equação diferencial: > $ > \frac{d^2y(t)}{dt^2}+2 \frac{dty(t)}{dt}+y(t) = \frac{d^2x(t)}{dt^2}-\frac{dx(t)}{dt}-6x(t) > $ > > b) A [[ROC de um SLIT estável]] tem de incluir o eixo imaginário. Como nos é dito que o sistema é causal então os polos da função de transferência têm de se localizar no semiplano esquerdo ($|Re(s)<0$). > > Para determinar os polos basta verificar que: > $ > s^2 + 2s+1= (s+1)^2 > $ > > ou seja, o sistema tem um polo duplo em $s=-1$ sendo, por isso, um sistema estável. > [[tl-dbl-o17-sol assoc paralelo]] < [[9-8 Associação de sistemas e representações em diagramas de blocos (dbl)]]