# Problema Considere a equação de uma transformada de Laplace: $\forall s \in \mathbb{C}, X(s)= \frac{1}{(s+1)(s+2)}$ Determine os sinais correspondentes à sua transformada inversa considerando as seguintes regiões de convergência: a) $\Re(s)>-1$ b) $\Re(s)<-2$ c) $-2<\Re(s)<-1$ > [!Solução]- > a) > $ > x_{a}(t) = e^{-t} u(t) - e^{-2t} u(t) > $ > b) > $ > x_b(t) = -e^{-t} u(-t) + e^{-2t} u(-t)) > $ > c) > $ > x_c(t) = -e^{-t} u(-t) - e^{-2t} u(t) > $ > > [!Resolução detalhada]- > Fatorizando em frações simples > $ > \begin{aligned} > X(s) &= \frac{1}{(s+1)(s+2)} \\ > &= \frac{A}{s+1}+\frac{B}{s+2} \\ > &= \frac{1}{s+1} - \frac{1}{s+2} \\ > &= X_{A}(s) + X_{B}(s) > \end{aligned} > $ > > Como os dois polos são: $s_{1}=-1$ e $s_{2}=-2$, há três regiões de convergência possíveis. > > a) $ROC_{1}: \Re(s)\gt -1$ trata-se de um sinal lateral direito. Vamos escolher sequências laterais direitas para inverter $X_{A}(s)$ e $X_{B}(s)$ usando [[transformada de Laplace da exponencial real direita]]: > $ > x_{a}(t) = e^{-t} u(t) - e^{-2t} u(t) > $ > b) $ROC_{2}: \Re(s)\lt -2$ trata-se de um sinal lateral esquerdo. Vamos escolher sequências laterais esquerdas para inverter $X_{A}(s)$ e $X_{B}(s)$ usando [[transformada de Laplace da exponencial real esquerda]]: > $ > x_b(t) = -e^{-t} u(-t) + e^{-2t} u(-t)) > $ > c) $ROC_{3}: 2\lt \Re(s)\lt -1$ trata-se de um sinal bi-lateral. Vamos escolher uma sequência lateral esquerda para inverter $X_{A}(s)$ usando a [[transformada de Laplace da exponencial real esquerda]]e uma lateral direita para $X_{B}(s)$ usando [[transformada de Laplace da exponencial real direita]]: > $x_c(t) = -e^{-t} u(-t) - e^{-2t} u(t)$ > > [[9-3 A transformada de Laplace inversa (inv)]] > [[tl-inv-o09 TL racional]]