# Problema (Retirado de O&W 9.9) Dado que o sinal $x(t)=e^{-at}u(t)$ tem como transformada de Laplace: $X(s)=\frac{1}{s+a}, \mathit{Re}(s)> \Re(-a)$ determine a transformada de Laplace inversa de: $Y(s)=\frac{2(s+2)}{s^2+7s+12}, \Re(s)>-3$ ## Solução $ x(t)=4 e^{-4t}u(t)-2e^{-3t}u(t) $ ## Resolução detalhada Para determinar os polos: $ \begin{aligned} s^2 + 7s +12 =0\\ s = \frac{-7\pm \sqrt{ 49-48 }}{2}\\ s_{1}=-3 \vee s_{2}=-4 \end{aligned} $ O sinal tem um zero em $s=-2$ que não cancela nenhum dos polos. Fatorizando: $ \begin{aligned} Y(s) &= \frac{2s+4}{(s+4)(s+3)}\\ &= \frac{A}{s+4} + \frac{B}{s+3}\\ &= \frac{4}{s+4} - \frac{2}{s+3} \end{aligned} $ Como a região de convergência é $\Re(s)>-3$, ou seja, à direita do polo mais à direita, o sinal inverso é uni-lateral direito: $ x(t)=4 e^{-4t}u(t)-2e^{-3t}u(t) $