# Problema Num condensador com a capacidade de $C$ Farads: ![[condensador.svg|200]] a tensão $V_{C}(t)$ e a corrente $i_{C}(t)$ relacionam-se pela expressão: $ i_{C}(t) = C \frac{dV_{C}(t)}{dt} $ Considere o sistema constituído pela seguinte associação de uma resistência com um condensador: ![[RC-passa-baixo.svg|500]] em que as tensões $x(t)$ e $y(t)$ são, respetivamente a entrada e a saída do sistema. a) Determine a equação diferencial que caracteriza o sistema. b) Determine a localização dos polos e zeros do sistema e trace o seu diagrama de Bode. Que tipo de filtro se trata? c) Troque a posição da resistência com o condensador e repita as alíneas anteriores. > [!Solução]- > a) > $ > RC \frac{dy(t)}{dt}+y(t)=x(t) > $ > b) polo em $s=-\frac{1}{RC}$. Trata-se agora de um filtro passa-baixo com frequência de corte em $\omega_{c}=\frac{1}{RC}$. > ![[diagramas-bode-ordem-1.svg]] > c) > $ > H(s)=RC\frac{s}{RCs+1} > $ > O sistema tem um zero em $s=0$ e um polo no mesmo ponto do anterior em $s=-\frac{1}{RC}$. Trata-se agora de um filtro passa-alto com frequência de corte em $\omega_{c}=\frac{1}{RC}$. > > [!Resolução detalhada]- > a) A tensão de saída é igual à tensão no condensador ($y(t)=V_{C}(t)$). Usando a lei de Kirchoff da tensão: > $ > x(t) = V_{R}(t)+y(t) > $ > > Usando a lei de Ohm e a equação da corrente no condensador: > $ > V_{R}(t)= RC \frac{dy(t)}{dt} > $ > > O que resulta na equação diferencial: > $ > RC \frac{dy(t)}{dt}+y(t)=x(t) > $ > > b) Aplicando a propriedade da [[propriedade da diferenciação no tempo da TL]]: > $ > RCsY(s)+Y(s)=X(s) > $ > > ou seja: > $ > H(s)= \frac{1}{RCs +1} > $ > > Trata-se de um [[interpretação geométrica da TFTC de sistemas de 1ª ordem]] com $\tau=RC$, que tem um polo em $s=-\frac{1}{RC}$. > > O ganho para a frequência $0$ vale: > $ > H(j0)=1=0dB > $ > > O diagrama de Bode é idêntico ao do sistema de 1ª ordem e trata-se agora de um filtro passa-baixo com frequência de corte em $\omega_{c}=\frac{1}{RC}$. > > ![[diagramas-bode-ordem-1.svg]] > > c) A troca da condensador com a resistência resulta na seguinte equação: > $ > x(t)=V_{C}(t)+y(t) > $ > > ou seja: > $ > V_{C}(t)=x(t)-y(t) > $ > > com agora $y(t)=V_R(t) = R i_C(t)$: > $ > y(t) = RC \frac{d}{dt}(x(t)-y(t)) > $ > que resulta na equação diferencial: > $ > RC \frac{dy(t)}{dt}+y(t)= RC \frac{dx(t)}{dt} > $ > > aplicando a propriedade da [[propriedade da diferenciação no tempo da TL]]: > $ > RCs Y(s)+Y(s)=RC sX(s) > $ > > que resulta na função de transferência: > $ > H(s)=RC\frac{s}{RCs+1} > $ > > O sistema tem um zero em $s=0$ e um polo no mesmo ponto do anterior em $s=-\frac{1}{RC}$. Trata-se agora de um filtro passa-alto com frequência de corte em $\omega_{c}=\frac{1}{RC}$. > [[tl-mpz-a01 primeira ordem]] < [[9-4 Avaliação da transformada de Fourier a partir do mapa de polos e zeros (mpz)]] > [[tl-mpz-o10 tipos de filtros]]