# Problema (Retirado de O&W 9.24) Neste problema consideraremos que a região de convergência da transformada de Laplace inclui sempre o eixo $j\omega$: a) Considere um sinal $x(t)$ com transformada de Fourier $X(j\omega)$ e transformada de Laplace $X(s)=s+1/2$. Desenhe o mapa de polos e zeros para $X(s)$. Desenhe o vector cujo comprimento representa $|X(j\omega)|$ e cujo ângulo com o eixo real represente $\angle X(j\omega)$ para um dado $\omega$. b) Examinando mapa de polos e zeros da alínea anterior, determine uma transformada de Laplace diferente $X_1(s)$ correspondente ao sinal $x_1(t)$ tal que $|X_1(j\omega)|=|X(j\omega)|$ mas $x_1(t)\ne x(t)$. Mostre o mapa de polos e zeros e os vectores associados que representam $X_1(j\omega)$ c) Examine os diagramas de vectores e determine a relação entre $\angle X(j\omega)$ e $\angle X_1(j\omega)$. d) Determine a transformada de Laplace $X_2(s)$ tal que $\angle X_2(j\omega)=\angle X(j\omega)$, mas em que $x_2(t)$ não seja proporcional a $x(t)$. Mostre o mapa de polos e zeros e os vectores associados que representam $X_2(j\omega)$ e) Para o resultado da alínea anterior, determine a relação entre $|X_2(j\omega)|$ e $|X(j\omega)|$. f) Considere um sinal $x(t)$ em que a sua transformada de Laplace tem dois polos em $s_{p1}=-2$ e $s_{p2}=1$ e dois zeros em $s_{z1}=-1$ e $s_{z2}=1/2$. Determine $X_1(s)$ tal que $|X_1(j\omega)|=|X(j\omega)|$ e que tenha todos os polos e zeros no semi-plano $s$ esquerdo. Determine também $X_2(s)$ tal que $\angle X_2(j\omega)=\angle X(j\omega)$ e que tenha todos os polos e zeros no semi-plano $s$ esquerdo. > [!Solução]- > > a) $X(s)=s+1/2,\,\forall s \in \mathbb{C}$ > ![[tl-mpz-o24-mpz-X.excalidraw.svg]] > > b) $|X_1(j\omega)|=|X(j\omega)|$ > $ > X_{1}(s) = s-\frac{1}{2}, \Re(s)< \frac{1}{2} > $ > ![[tl-mpz-o24-mpz-X1.excalidraw.svg]] > c) > $ > \angle X(j\omega)=\pi - \angle X_{1}(j\omega) > $ > d) > $ > X_{2}(s) = -\frac{1}{s-\frac{1}{2}} > $ > ![[tl-mpz-o24-mpz-X2.excalidraw.svg]]e > e) > $ > |X_{2}(j\omega)| = \frac{1}{|X(j\omega)|} > $ > f-1) > $ > X_{1}(s) =\frac{s+\frac{1}{2}}{s+2} > $ > f-2) > $ > X_{2}(s) = \frac{(s+1)^2}{(s+2)\left( s+\frac{1}{2} \right)} > $ > [!Resolução detalhada]- > > a) $X(s)=s+1/2,\,\forall s \in \mathbb{C}$ > $X(s)$ tem apenas um zero em $s=-\frac{1}{2}$ e por isso converge para todo o plano $s$. Podemos obter a transformada de Fourier fazendo $s=j\omega$: > $ > X(j\omega) = j\omega+\frac{1}{2} > $ > O módulo de $X(j\omega)$ é o módulo do número complexo com parte real $\frac{1}{2}$ e parte imaginário $\omega$: > $ > |X(j\omega)| = \left| \frac{1}{2}+j\omega \right| = \sqrt{ \frac{1}{4}+\omega^{2} } > $ > ou seja, é o comprimento do vetor que une o zero ao ponto do eixo imaginário $j\omega$. > A fase de $X(j\omega)$ é o argumento do número complexo $\frac{1}{2}+j\omega$: > $ > \angle X(j\omega) = \angle \left( \frac{1}{2} + j\omega\right) = \tan ^{-1}(2\omega) > $ > que é igual ao ângulo do vetor que une o zero ao ponto do eixo imaginário $j\omega$. > Representando no mapa de polos e zeros: > ![[tl-mpz-o24-mpz-X.excalidraw.svg]] > > b) $|X_1(j\omega)|=|X(j\omega)|$ > > Olhando para o mapa de polos e zeros da resposta anterior é fácil de ver que um sistema com um zero em $s=\frac{1}{2}$ tem o mesmo módulo da resposta em frequência. Ou seja, o sistema: > $ > X_{1}(s) = s-\frac{1}{2} > $ > Tem módulo da resposta em frequência: > $ > |X_{1}(j\omega)| = \left| -\frac{1}{2}+j\omega \right| = \sqrt{ \frac{1}{4}+\omega^{2} }=|X(j\omega)| > $ > Representando no mapa de polos e zeros: > ![[tl-mpz-o24-mpz-X1.excalidraw.svg]] > > c) Relação entre $\angle X(j\omega)$ e $\angle X_1(j\omega)$. > > Analisando o mapa de polos e zeros anterior é fácil concluir que a fase de $X_{1}(j\omega)$ é: > $ > \angle X_{1}(j\omega) = \angle \left( - \frac{1}{2} +j\omega\right) = \pi - \angle \left( \frac{1}{2} +j\omega\right) > $ > ou seja: > $ > \angle X_{1}(j\omega) = \pi - \angle X(j\omega) > $ > NOTA: $X_{1}(j\omega)$ e $X(j\omega)$ têm zeros em posições recíprocas face ao eixo imaginário e, por isso, têm o mesmo módulo. No entanto, $X(j\omega)$ tem o zero no semi-plano esquerdo e por isso tem uma fase menor do que $X_1(j\omega)$. Esta ideia pode ser generalizada para qualquer número de zeros e de todos os sistemas estáveis que têm a mesma resposta de amplitude e chama-se de fase mínima ao que tem todos os zeros no semi-plano esquerdo. > > d) transformada de Laplace $X_2(s)$ tal que $\angle X_2(j\omega)=\angle X(j\omega)$ > > Resolvendo o resultado da alínea anterior em ordem a $\angle X(j\omega)$: > $ > \angle X(j\omega) = \pi - \angle X_{1}(j\omega) > $ > O sistema inverso de $X_{1}(j\omega)$ tem a fase de sinal contrário a $X_{1}(j\omega)$. O sistema inverso tem os polos trocados com os zeros: > $ > X_{1}^{-1}(s) = \frac{1}{s-\frac{1}{2}} > $ > ou seja, > $ > \angle X_{1}^{-1}(j\omega) = -\angle X(j\omega) > $ > o que resulta em > $ > \angle X(j\omega) = \pi + \angle X_{1}^{-1}(j\omega) > $ > Para somar $\pi$ à fase, basta multiplicar a função de transferência por $-1$: > $ > X_{2}(s) = - \frac{1}{s-\frac{1}{2}} > $ > o que resulta em > $ > \angle X_{2}(j\omega) = \pi - \angle X_{1}(j\omega) = \angle X(j\omega) > $ > ![[tl-mpz-o24-mpz-X2.excalidraw.svg]] > e) Determine a relação entre $|X_2(j\omega)|$ e $|X(j\omega)|$. > Dado que > $ > X_{2}(s) = - \frac{1}{X(s)} > $ > Assumindo uma ROC que permita a existência da transformada de Fourier: > $ > |X(_{2}(j\omega))| = \frac{1}{| X(j\omega)|} > $ > > NOTA: A cascata de $X(s)$ com $X_{2}(s)$ pode ser representado por: > $ > H(s) = X(s) X_{1}(s) = -\frac{s+\frac{1}{2}}{s-\frac{1}{2}} > $ > é um filtro passa-tudo: > $ > |H(j\omega)| = \frac{|j\omega+ \frac{1}{2}|}{|\frac{1}{2}-j\omega|} =1 > $ > > f) $X(s)$ tem dois polos em $s_{p1}=-2$ e $s_{p2}=1$ e dois zeros em $s_{z1}=-1$ e $s_{z2}=1/2$. > ![[tl-mpz-o24-mpz-fX.excalidraw.svg]] > $ > X(s) = \frac{(s+1)\left( s-\frac{1}{2} \right)}{(s+2)(s-1)} > $ > > f-1) Determinar $X_1(s)$ tal que $|X_1(j\omega)|=|X(j\omega)|$ e que tenha todos os polos e zeros no semi-plano $s$ esquerdo. > > Para manter o mesmo módulo da resposta em frequência, basta mudar os polos e zeros no semi-plano direito para a posição recíproca no semi-plano esquerdo. O seja: > $ > \begin{align} > s_{p_{1}}=1 & \longrightarrow s_{2p1} = -1 \\ > s_{z_{1}}=\frac{1}{2} & \longrightarrow s_{2z1} = -\frac{1}{2} > \end{align} > $ > ![[tl-mpz-o24-mpz-fX1.excalidraw.svg]] > O que resulta em: > $ > X_{1}(s) = \frac{(s+1)\left( s+\frac{1}{2} \right)}{(s+2)(s+1)} > $ > simplificando: > $ > X_{1}(s) = \frac{s+\frac{1}{2}}{s+2} > $ > NOTA: $X_{1}(s)$ é o sistema de fase mínima correspondente a $X(s)$. > > f-2) Determinar também $X_2(s)$ tal que $\angle X_2(j\omega)=\angle X(j\omega)$ e que tenha todos os polos e zeros no semi-plano $s$ esquerdo. > > Para manter a mesma fase da resposta em frequência, basta trocar os polos e zeros no semi-plano direito por zeros e polos em posição recíproca no semi-plano esquerdo. O seja: > $ > \begin{align} > s_{p_{1}}=1 & \longrightarrow s_{2z1} = -1 \\ > s_{z_{1}}=\frac{1}{2} & \longrightarrow s_{2p1} = -\frac{1}{2} > \end{align} > $ > ![[tl-mpz-o24-mpz-fX2.excalidraw.svg]] > Em cada troca é necessário mudar o sinal da função de transferência. Neste caso o número de trocas é par e não há mudança de sinal, resultando em: > $ > X_{2}(s) = \frac{(s+1)(s+1)}{(s+2)\left( s+\frac{1}{2} \right)} > $ > simplificando: > $ > X_{2}(s) = \frac{(s+1)^{2}}{(s+2)\left( s+\frac{1}{2} \right)} > $ [[tl-mpz-o10 tipos de filtros]] < [[9-4 Avaliação da transformada de Fourier a partir do mapa de polos e zeros (mpz)]]