# Problema Determinar a transformada de Laplace de: $\forall t \in \mathbb{R}, x(t)= t e^{-at}u(t)$ > [!Solução]- > $ > te^{-at}u(t) \xrightarrow[\cal L]{} \frac{1}{(s+a)^{2}}, \Re(s)>-a > $ > > [!Resolução detalhada]- > > Conhecendo a [[transformada de Laplace da exponencial real direita]]: > $ > e^{-at}u(t) \xrightarrow[\cal L]{} \frac{1}{s+a}, \Re(s)>-a > $ > > > usando a propriedade [[propriedade da diferenciação da TL no domínio s]] > $-t x_{1}(t) > \xrightarrow[\cal L]{} > \frac{d X_{1}(s)}{ds}, \text{ROC} = R > $ > Conclui-se que > $ > \begin{align*} > X(s) &= -\frac{d}{ds} \left( \frac{1}{s+a} \right) \\ > &= - \frac{-1}{(s+a)^{2}} > \end{align*} > $ > ou seja, > $X(s) = \frac{1}{(s+a)^2}, \text{ROC} = \mathit{Re}(s)>-a$ > Ficamos estão com um novo par de transformadas de Laplace: > $ > te^{-at}u(t) \xrightarrow[\cal L]{} \frac{1}{(s+a)^{2}}, \Re(s)>-a > $ > [[9-5 Propriedades da transformada de Laplace (props)]] > [[tl-props-a02 polo duplo]]