# Problema Determinar a transformada de Laplace inversa de: $\forall s \in \mathbb{C} \wedge \Re(s)>-1, X(s) = \frac{2s^2+5s+5}{(s+1)^2(s+2)}$ > [!Solução]- > $\forall t \in \mathbb{R}, x(t)= [2te^{-t}-e^{-t}+3e^{-2t}]u(t)$ > > [!Resolução detalhada]- > Decompondo $X(s)$ em frações simples > > $ > \begin{align*} > X(s) &= \frac{2s^2+5s+5}{(s+1)^{2}(s+2)} \\ > &= \frac{A_{11}}{(s+1)}+\frac{A_{12}}{(s+1)^{2}}+\frac{A_{2}}{s+2} \\ > \end{align*} > $ > Aplicando o [[método dos resíduos para a decomposição em frações simples]]: > $ > \begin{align*} > A_{11}&=\left[ \frac{d}{ds}[(s+1)^2X(s)]\right]_{s=-1} \\ > &= \left[ \frac{d}{ds} \frac{2s^2+5s+5}{s+2} \right]_{s=-1} \\ > &= \left[ \frac{(4s+5)(s+2)-(2s^2+5s+5)}{(s+2)^2} \right]_{s=-1} \\ > &= \left[ \frac{(2s^2+8s+5}{(s+2)^2} \right]_{s=-1} \\ > &= -1 \\ > A_{12}&=\left[ (s+1)^2X(s)\right]_{s=-1} \\ > &= \left[ \frac{2s^2+5s+5}{s+2} \right]_{s=-1} \\ > &= 2 \\ > A_{2}&=\left[ (s+2)X(s)\right]_{s=-2} \\ > &= \left[ \frac{2s^2+5s+5}{(s+1)^2} \right]_{s=-2} \\ > &= 3 > \end{align*} > $ > O que resulta na expressão: > $ > X(s) = \frac{-1}{(s+1)}+\frac{2}{(s+1)^2}+\frac{3}{s+2} > $ > > Como os polos estão em $s_{1}=-1$ (duplo) e $s_{2}=-2$, $\Re(s)>-1$ é a região à direita do polo mais à direita pelo que solução é um sinal unilateral direito. > > Usamos a [[transformada de Laplace da exponencial real direita]]: > $ > e^{-at}u(t) \xrightarrow[\cal L]{} \frac{1}{s+a}, \Re(s)>-a > $ > > e o resultado de [[tl-props-a01 multiplicação por t]] > $ > te^{-at}u(t) \xrightarrow[\cal L]{} \frac{1}{(s+a)^{2}}, \Re(s)>-a > $ > > que permitem obter: > $\forall t \in \mathbb{R}, x(t)= [-e^{-t}+2te^{-t}+3e^{-2t}]u(t)$ > [[tl-props-a01 multiplicação por t]] < [[9-5 Propriedades da transformada de Laplace (props)]] > [[tl-props-a03 valor inicial]]