# Problema Utilize o teorema do valor inicial para verificar se as seguintes funções podem constituir um par de Laplace: $\forall t \in \mathbb{R},\,x(t)=e^{-2t} u(t) + e^{-t} \cos(3t) u(t)$ e $\forall s \in \mathbb{C} \wedge \mathit{Re}(s) > -1, X(s) = \frac{2s^2+5s+12}{(s^2+2s+10)(s+2)}$ > [!Solução]- > $x(0^+) = 2$ > $ > \lim_{s \rightarrow \infty} s\frac{2s^2+5s+12}{(s^2+2s+10)(s+2)} = 2 > $ > > [!Resolução detalhada]- > O [[teorema do valor inicial]] afirma que se $x(t)=0$ para $t<0$ e se $x(t)$ não tiver impulsos ou singularidades de ordem superior na origem, podemos relacionar o sinal em $t=0^{+}$ com o limite da sua TL: > > $x(0^+) = \lim_{s \rightarrow \infty} sX(s)$ > > Sendo que $u(0^{+})=1$ fica > $x(0^+) = 2$ > > Calculando o limite: > $ > \begin{align*} > \lim_{s \rightarrow \infty} s\frac{2s^2+5s+12}{(s^2+2s+10)(s+2)} & = \lim_{s \rightarrow \infty} \frac{2s^{3}+\ldots}{s^3+\ldots} \\ > &= 2 > \end{align*} > $ > Pode-se confirmar que as funções podem constituir um par de Laplace. > [[tl-props-a02 polo duplo]] < [[9-5 Propriedades da transformada de Laplace (props)]] > [[tl-props-o21 TL e ROCs]]