# Problema Considere um sinal $y(t)$ que está relacionado com $x_1(t)$ e $x_2(t)$ por: $y(t) = x_1(t-2) \ast x_2(-t+3)$ onde $x_1(t)=e^{-2t}u(t)$ e $x_2(t)=e^{-3t}u(t)$. Sabendo que: $e^{-at} u(t) \xrightarrow[\cal L]{} \frac{1}{s+a},\;\; \mathit{Re}(s)>-a$ use as propriedades da transformada de Laplace para determinar $Y(s)$. > [!Solução]- > $ > Y(s)=\frac{e^{-5s}}{(s+2)(3-s)},\, -2<\Re(s) <-3 > $ > > [!Resolução detalhada]- > Usando o par de Laplace dado no enunciado: > $ > X_{1}(s) = \frac{1}{s+2}, \Re(s)>-2 > $ > > Usando a propriedade do [[propriedade do deslocamento temporal da TL]]: > $y_{1}(t)=x_{1}(t - 2) > \xrightarrow[\cal L]{} > Y_{1}(s)=e^{-2s} \frac{1}{x+2}, \Re(s)>-2$ > > Para o outro sinal: > $ > X_{2}(s)=\frac{1}{s+3}, \Re(s)>-3 > $ > Usando a propriedade do [[propriedade do escalamento temporal da TL]]: > $y_{3}(t)=x(-t) > \xrightarrow[\cal L]{} Y_{3}(s)=\frac{1}{-s+3}, \Re(s)<-3$ > > Seguindo-se a propriedade do [[propriedade do deslocamento temporal da TL]]: > $y_{4}(t)=y_{3}(t-3)=x(-t+3) > \xrightarrow[\cal L]{} Y_{4}(s) = e^{^{-3s} }\frac{1}{-s+3}, \Re(s)<-3$ > > Aplicando a [[propriedade da convolução da TL]]: > > $y(t) = y_1(t) \ast y_4(t) > \xrightarrow[\cal L]{} > Y(s)=Y_{1}(s) Y_4(s), -2<\Re(s)<-3$ > $ > Y(s)=\frac{e^{-2s}}{s+2} \frac{e^{-3s}}{3-s}, -2<\Re(s) <-3 > $ > > ou seja: > $ > Y(s)=\frac{e^{-5s}}{(s+2)(3-s)},\, -2<\Re(s) <-3 > $ > > [[tl-props-o21 TL e ROCs]] < [[9-5 Propriedades da transformada de Laplace (props)]]