# Problema Mostre que o sinal exponencial real uni-lateral direito definido pela equação: $\forall t \in \mathbb{R}, x(t)=e^{-at} u(t)$ em que $a \in \mathbb{R}$, $a >0$ e $u(t)$ é o [[degrau unitário de tempo contínuo]], tem a seguinte transformada de Laplace: $X(s) = \frac{1}{s+a}, \Re(s)>-a$ > [!Solução]- > $ > X(s) = \int_{0}^{+\infty} e^{-(a+s) t} dt,\, \Re(s) \gt -a > $ > > [!Resolução detalhada]- > > Aplicando a [[transformada de Laplace (TL)]]: > > $\begin{align} > X(s) &= \int_{-\infty}^{+\infty} x(t) e^{-s t} dt\\ > &= \int_{0}^{+\infty} e^{-(a+s) t} dt > \end{align}$ > > Para que o integral convergir é necessário que: > $\begin{align} > |e^{-(a+s)}| &\lt 1\\ > \Re(a+s) &\gt 0\\ > \Re(s) &\gt -a > \end{align}$ > > Nestas condições é possível determinar o valor do integral: > $ > \begin{align} > X(s) &= \left[ \frac{e^{-(a+s)t}}{-(a+s)} \right]_{0}^{+\infty} \\ > &= \frac{1}{s+a} > \end{align} > $ > em resumo: > $X(s) = \frac{1}{s+a}, \Re(s)>-a$ > à região do plano complexo onde o integral converge dá-se o nome de [[região de convergência (ROC) da TL]]. > [[9-1 Transformada de Laplace (repr)]] > [[tl-repr-a02 exponencial real esquerda]]