# Problema (Retirado de O&W 9.2) Considere o sinal $x(t)=e^{-5t} u(t-1)$ cuja transformada de Laplace é $X(s)$. a) Calcule $X(s)$ e especifique a sua região de convergência. b) Determine os valores dos números finitos $A$ e $t_0$ tal que transformada de Laplace $G(s)$ de $g(t)=A e^{-5t} u(-t-t_0)$ tenha a mesma forma algébrica de $X(s)$. Qual é a região de convergência correspondente a $G(s)$? > [!Solução]- > a) > $ > X(s) = \frac{e^{-(s+5)}}{s+5}, \, \Re(s)>-5 > $ > b) > $ > G(s)= - \frac{Ae^{(s+5)t_{0}}}{s+5}, \Re(s) < -5 > $ > [!Resolução detalhada]- > a) Usando a definição da [[transformada de Laplace (TL)]]: > $ > \begin{aligned} > X(s) &= \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-5t} u(t-1) e^{-st} dt \\ > &= \int _{1}^{+\infty} e^{-(s+5)t} dt\\ > &= -\frac{1}{s+5} \left[e^{-(s+5)t} \right]_{1}^{+\infty}\\ > &= \frac{e^{-(s+5)}}{s+5} > \end{aligned} > $ > > O integral só converge para: > $ > \Re(s)>-5 > $ > > b) Calculando agora $G(s)$: > $ > \begin{aligned} > G(s) &= \int _{-\infty}^{+\infty} A e^{-5t}u(-t-t_{0}) e^{-st} dt\\ > &= \int_{-\infty}^{-t_{0}} A e^{-(s+5)t}dt\\ > &= A \left(- \frac{1}{s+5} \right) \left[ e^{-(s+5)t}\right]_{-\infty}^{-t_{0}}\\ > &= - \frac{Ae^{(s+5)t_{0}}}{s+5} > \end{aligned} > $ > > Com região de convergência: > $ > \Re(s)<-5 > $ > > $G(s)$ tem a mesma forma de $X(s)$ para $t_{0}=-1$ e $A=-1$. > [[tl-repr-a02 exponencial real esquerda]] < [[9-1 Transformada de Laplace (repr)]]