# Problema Calcular a transformada de Laplace do sinal: $\forall t \in \mathbb{R}, x(t)=e^{-2t} u(t) + e^{-t} \cos(3t) u(t)$ > [!Solução]- > $X(s) = \frac{2s^2+5s+12}{(s^2+2s+10)(s+2)}, \Re(s)>-1$ > > [!Resolução detalhada]- > $ > \begin{align} > x(t) & = e^{-2t}u(t) + e^{-t}\cos(3t)u(t) \\ > &= e^{-2t}u(t) + \frac{1}{2}e^{-(1-3j)t}u(t)+ \frac{1}{2}e^{-(1+3j)t}u(t) > \end{align} > $ > Usando o resultado da [[transformada de Laplace da exponencial real direita]]: > $ > X(s) = \frac{1}{s+2} + \frac{1}{2} \frac{1}{s+(1-3j)} + \frac{1}{2} \frac{1}{s+(1+3j)} $ > > Para cada um dos termos, as regiões de convergência são, respetivamente: $\Re(s)\gt -2$, $\Re(s)\gt -1$ e $\Re(s)\gt-1$. > > Resulta em: > $X(s) = \frac{2s^2+5s+12}{(s^2+2s+10)(s+2)}, \Re(s)>-1$ > [[9-2 Região de convergência da transformada de Laplace (roc)]] > [[tl-roc-a02 duração finita]]