# Problema Calcular a transformada de Laplace do sinal: $\forall t \in \mathbb{R}, x(t)= \begin{cases} e^{-at}, & 0 < t < T\\ 0, & \text{caso contrário} \end{cases}$ > [!Solução]- > $\forall s \in \mathbb{C},\, > X(s) = > \begin{cases} > \frac{1 - e^{-(s+a)T}}{s+a}, & s \ne -a\\ > T, & s = -a > \end{cases}$ > > [!Resolução detalhada]- > > Trata-se de um sinal de duração limitada que, de acordo com a propriedade 3 da região de convergência ([[a ROC de um sinal de duração finita é todo o plano s]]), a TL deve convergir para todo o plano complexo. > > $ > \begin{align*} > X(s) &= \int_{0}^{T} e^{-(a+s)t}\, dt \\ > &= \left[ \frac{e^{-(s+a)t}}{-(s+a)} \right]_{0}^{T} \\ > &=\frac{1-e^{-(s+a)T}}{s+a} > \end{align*} > $ > > esta expressão é indeterminada para $s=-a$. Usando a regra de L'Hôpital: > $ > \begin{align*} > \lim_{ s \to -a } X(s) &= \lim_{ s \to -a} \frac{\frac{d}{ds}(1-e^{-(s+a)T})}{\frac{d}{ds}(s+a)} \\ > &= \lim_{ s \to -a } \frac{Te^{-(s+a)T}}{1} > \end{align*} > $ > > em resumo: > $\forall s \in \mathbb{C},\, > X(s) = > \begin{cases} > \frac{1 - e^{-(s+a)T}}{s+a}, & s \ne -a\\ > T, & s = -a > \end{cases}$ > > [[tl-roc-a01 exponencial e cosseno]] < [[9-2 Região de convergência da transformada de Laplace (roc)]] > [[tl-roc-a03 sinais com a mesma TL]]