# Problema (Retirado de O&W 9.7) Quantos sinais podem ter a seguinte transformada de Laplace: $X(s) = \frac{(s-1)}{(s+2)(s+3)(s^2+s+1)}$na região onde a transformada converge? > [!Solução]- > Podem existir 4 sinais com essa transformada de Laplace. > > [!Resolução detalhada]- > Os diferentes sinais corresponderão a diferentes regiões de convergência. Como a [[a ROC não contém polos]] começamos por identificar a sua localização: > $ > s_{1} = -2, s_{2} = -3 > $ > $ > \begin{aligned} > s^2+s+1 = 0\\ > s=\frac{-1 \pm \sqrt{ 1-4 }}{2}\\ > s_{3,4}=-\frac{1}{2} \pm j \frac{\sqrt{ 3 }}{2} > \end{aligned} > $ > Além destes 4 polos, o sinal tem um zero em $s=1$ que não cancela nenhum deles. > > Uma vez que [[a ROC são faixas paralela ao eixo imaginário]], no caso dos polos complexos conjugados só nos interessa a sua parte real. > > Desta forma há 4 regiões de convergência possíveis: > 1. $\Re(s)>-\frac{1}{2}$ que corresponde a um sinal unilateral direito pois [[a ROC de um sinal lateral direito é um semiplano direito]] > 2. $-2<\Re(s)<-\frac{1}{2}$ que corresponde a um sinal bilateral pois [[a ROC de um sinal bilateral é uma faixa]] > 3. $-3<\Re(s)<-2$ que corresponde a um sinal bilateral pois [[a ROC de um sinal bilateral é uma faixa]] > 4. $\Re(s)<-3$ que corresponde a um sinal unilateral esquerdo pois [[a ROC de um sinal lateral esquerdo é um semiplano esquerdo]] > [[tl-roc-a03 sinais com a mesma TL]] < [[9-2 Região de convergência da transformada de Laplace (roc)]]