# Problema
(Retirado de O&W 9.29)
Considere um sistema contínuo, linear e invariante no tempo com entrada $x(t)=e^{-t}u(t)$ e resposta impulsiva $h(t)=e^{-2t}u(t)$:
a) Determine a transformada de Laplace de $x(t)$ e de $h(t)$.
b) Usando a propriedade da convolução, determine a transformada de Laplace $Y(s)$ do sinal de saída.
c) Determine o sinal de saída $y(t)$.
d) Verifique o resultado anterior realizando explicitamente a convolução de $x(t)$ com $h(t)$.
e) Determine a equação diferencial que caracteriza o sistema.
> [!Solução]-
> a)
> $
> x(t)=e^{-t}u(t) \xrightarrow[\cal L]{} X(s)=\frac{1}{s+1}, \Re(s)>-1
> $
> $
> h(t)=e^{-2t}u(t) \xrightarrow[\cal L]{} H(s)=\frac{1}{s+2}, \Re(s)>-2
> $
> b)
> $
> Y(s) = \frac{1}{s+1} - \frac{1}{s+2},\, \Re(s)>-1
> $
> c)
> $
> y(t)=e^{-t}u(t)-e^{-2t}u(t)
> $
> d)
> $
> \begin{align}
> y(t) &= \int_{-\infty}^{+\infty} x(\tau) h(t-\tau) d\tau \\
>
> &= e^{-t} u(t)- e^{-2t}u(t)
> \end{align}
> $
> e)
> $
> \frac{dy(t)}{dt}+2y(t)=x(t)
> $
>
> [!Resolução detalhada]-
>
> a)
>
> Usando a [[transformada de Laplace da exponencial real direita]]
> $
> x(t)=e^{-t}u(t) \xrightarrow[\cal L]{} X(s)=\frac{1}{s+1}, \Re(s)>-1
> $
>
> e
> $
> h(t)=e^{-2t}u(t) \xrightarrow[\cal L]{} H(s)=\frac{1}{s+2}, \Re(s)>-2
> $
>
> b)
>
> $
> \begin{aligned}
> Y(s) &= \frac{1}{(s+1)(s+2)}\\
> &= \frac{A}{s+1} + \frac{B}{s+2}\\
> &= \frac{1}{s+1} - \frac{1}{s+2}, \Re(s)>-1
> \end{aligned}$
> c)
>
> Invertendo:
> $
> y(t)=e^{-t}u(t)-e^{-2t}u(t)
> $
> d)
>
> Usando o [[integral de convolução]]:
> $
> \begin{align}
> y(t) &= \int_{-\infty}^{+\infty} x(\tau) h(t-\tau) d\tau\\
> &= \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-\tau}u(\tau)e^{-2(t-\tau)} u(t-\tau) d\tau \\
> &= \int_{0}^{t} e^{-\tau}e^{-2t} e^{2\tau} d\tau\\
> &= e^{-2t} \left[e^{\tau}\right]_{0}^{t}u(t)\\
> &= e^{-2t}(e^{t}-1) u(t)\\
> &= e^{-t} u(t)- e^{-2t}u(t)
> \end{align}
> $
>
>
> e)
> $
> H(s)=\frac{Y(s)}{X(s)}=\frac{1}{s+2}
> $
> ou seja:
> $
> s Y(s) + 2 Y(s) = X(s)
> $
> Aplicando a propriedade da[[propriedade da diferenciação no tempo da TL]]:
> $
> \frac{dy(t)}{dt}+2y(t)=x(t)
> $
>
[[tl-slits-a07 factos sobre um SLIT]] < [[9-7 Análise e caracterização de SLITs com a transformada de Laplace (slits)]] > [[tl-slits-o31 eq dif ordem 2]]