# Problema (Retirado de O&W 9.31) Considere um sistema contínuo, linear e invariante no tempo em que a entrada $x(t)$ e a saída $y(t)$ estão relacionadas pela equação diferencial: $\frac{d^2 y(t)}{d t^2} - \frac{d y(t)}{d t} - 2 y(t) = x(t)$ Seja $H(s)$ a transformada de Laplace da resposta impulsiva deste sistema. a) Determine $H(s)$ na forma racional. Desenhe o diagrama de pólos e zeros de $H(s)$. b) Determine $h(t)$ para cada um dos seguintes casos: 1. o sistema é estável; 2. o sistema é causal; 3. o sistema não é estável nem causal; > [!Solução]- > a) > O sistema não tem zeros e tem um polo em $s_{1}=-1$ e outro em $s_{2}=2$: > $ > H(s)=\frac{1}{(s-2)(s+1)} > $ > > b.1) > $ > y(t)= -\frac{1}{3} e^{2t}u(-t) - \frac{1}{3} e^{-t} u(t) > $ > b.2) > $ > y(t)= \frac{1}{3} e^{2t}u(t) - \frac{1}{3} e^{-t} u(t) > $ > b.3) > $ > y(t)= -\frac{1}{3} e^{2t}u(-t) + \frac{1}{3} e^{-t} u(-t) > $ > > [!Resolução detalhada]- > > a) > > Aplicando a propriedade da [[propriedade da diferenciação no tempo da TL]] > $ > s^2Y(s) -s Y(s) -2 Y(s) = X(s) > $ > > A função de transferência será: > $ > H(s)= \frac{Y(s)}{X(s)} = \frac{1}{s^2 -s - 2} > $ > Determinando os polos. > $ > \begin{aligned} > s^2-2-2 = 0\\ > s=\frac{1 \pm \sqrt{ 1+8 }}{2}\\ > s=-1 \vee s=2 > \end{aligned} > $ > então o sistema não tem zeros e tem um polo em $s_{1}=-1$ e outro em $s_{2}=2$: > $ > H(s)=\frac{1}{(s-2)(s+1)} > $ > > b) > > Fatorizando em frações simples: > $ > H(s) = \frac{1}{3} \frac{1}{s-2} - \frac{1}{3} \frac{1}{s+1} > $ > caso 1: a [[ROC de um SLIT estável]] deve incluir o eixo imaginário. Neste caso: > > $ > -1<\Re(s)<2 > $ > que resulta no sinal inverso: > $ > y(t)= -\frac{1}{3} e^{2t}u(-t) - \frac{1}{3} e^{-t} u(t) > $ > > caso 2: a [[ROC de um SLIT causal]] fica à direita do polo mais à direita. Neste caso: > $ > \Re(s)> 2 > $ > que resulta no sinal inverso: > $ > y(t)= \frac{1}{3} e^{2t}u(t) - \frac{1}{3} e^{-t} u(t) > $ > > caso 3: para não ser nem estável nem casual a região de convergência será: > $ > \Re(s)<-1 > $ > > que resulta no sinal inverso: > $ > y(t)= -\frac{1}{3} e^{2t}u(-t) + \frac{1}{3} e^{-t} u(-t) > $ > [[tl-slits-o29 convolução]] < [[9-7 Análise e caracterização de SLITs com a transformada de Laplace (slits)]]