# Problema Demonstre a propriedade da [[propriedade da diferenciação no tempo da TLU]]: $\frac{d x(t)}{dt} \xrightarrow[\cal LU]{} s \cal X(s) - x(0^{-})$ > [!Solução]- > Se > $ > y(t)=\frac{dx(t)}{dt} > $ > > então > $ > \mathcal{Y}(s) = \int_{0^{-}}^{+\infty} \frac{dx(t)}{dt} e^{-st} dt\\ > $ > > Para calcular a primitiva podemos usar: > $ > \frac{d}{dt}\left[x(t) e^{-st}\right]= \frac{dx(t)}{dt}e^{-st}-s x(t) e^{-st} > $ > ou seja > $ > \frac{dx(t)}{dt}e^{-st}=\frac{d}{dt}\left[x(t)e^{-st}\right] + sx(t)e^{-st} > $ > > Substituindo no integral: > $ > \begin{aligned} > \mathcal{Y}(s) &= \left[ x(t)e^{-st} \right] _ {0^-} ^{+\infty}+s \int_{0^{-}}^{+\infty} x(t) e^{-st }dt\\ > &= 0 - x(0^{-}) + s \mathcal{X}(s) > \end{aligned} > $ > > ou seja: > $ > \mathcal{Y}(s)=s \mathcal{X}(s) - x(0^{-}) > $ > > que difere da propriedade de [[propriedade da diferenciação no tempo da TL]] > [[tl-tlu-a02 TLU diferente da TL]] < [[9-9 A transformada de Laplace unilateral (tlu)]] > [[tl-tlu-a04 condições iniciais]]