# Problema (Retirado de O&W Ex9.38 e Ex9.38) Considere um SLIT causal caracterizado pela seguinte equação diferencial: $ \frac{d^2y(t)}{dt^2}+3 \frac{dy(t)}{dt}+2y(t)=x(t) $ a) considere que o sistema se encontra em repouso inicial e que a entrada é o sinal $x(t)=\alpha u(t)$. Determine o sinal de saída $y_{a}(t)$. b) considere agora que o sistema não se encontra em repouso inicial, sabendo-se que: $ y(0^{-})=\beta, y'(0^{-})=\gamma $ e que a entrada é o mesmo sinal $x(t)=\alpha u(t)$. Determine a transformada de Laplace unilateral do sinal de saída $y_{b}(t)$. c) considere $\alpha=2$, $\beta=3$ e $\gamma=-5$ e determine $y_{b}(t)$ > [!Solução]- > a) > $ > y_{a}(t)=\alpha \left[\frac{1}{2}-e^{-t}+\frac{1}{2}e^{-2t}\right] u(t) > $ > b) > > $ > \mathcal{Y}(s) = \frac{\beta s^2 + (3\beta+\gamma)s + \alpha}{s(s+1)(s+2)},\,\Re(s)>0 > $ > c) > $ > y_{b}(t)=[1-e^{-t}+3e^{-2t}]u(t) > $ > > [!Resolução detalhada]- > Resolução detalhada > a) Na situação de repouso inicial, sendo $x(t)=0$ para $t<0$, as transformadas de Laplace unilateral e bi-lateral são idênticas: > $ > s^2Y(s)+3sY(s)+2Y(s)=X(s) > $ > ou seja, > $ > H(s)=\frac{1}{s^2+3s+2} > $ > > usando o par para o degrau unitário dos [[pares de Laplace do impulso e degrau unitário]]: > $ > \alpha u(t) \xrightarrow[\cal L]{} \frac{\alpha}{s}, \Re(s)>0 > $ > > Como $H(s)$ tem polos em em $s=-1$ e $s=-2$: > $ > Y(s) = \alpha \frac{1}{s(s+1)(s+2)}, \Re(s)>0 > $ > Usando o [[método dos resíduos para a decomposição em frações simples]]: > $ > Y(s)= \alpha \left[ \frac{A_{1}}{s}+\frac{A_{2}}{s+1}+\frac{A_{3}}{s+2} \right] > $ > Calculando os termos dos numeradores para raízes simples: > $ > \begin{align} > A_{1} &= \left. \left[ \frac{1}{(s+1)(s+2)} \right] \right|_{s=0} = \frac{1}{2} \\ > A_{2} &= \left. \left[ \frac{1}{s(s+2)} \right] \right|_{s=-1} = -1 \\ > A_{3} &= \left. \left[ \frac{1}{s(s+1)} \right] \right|_{s=-2} = \frac{1}{2} > \end{align} > $ > ou seja: > $ > Y(s) = \alpha \left[ \frac{1}{2} \frac{1}{s} + \frac{1}{s+1} + \frac{1}{2} \frac{1}{s+2} \right],\, \Re(s)>0 > $ > > invertendo a transformada: > $ > y_{a}(t)=\alpha \left[\frac{1}{2}-e^{-t}+\frac{1}{2}e^{-2t}\right] u(t) > $ > > b) Quando existem condições iniciais não nulas, a transformada de Laplace unilateral é diferente da bilateral. Aplicando a [[propriedade da diferenciação no tempo da TLU]] à equação diferencial: > $ > s^2 \mathcal{Y}(s)- sy(0^{-}) - y'(0^{-})+3s \mathcal{Y}(s) - 3y(0^{-})+2\mathcal{Y}(s)=\mathcal{X}(s) > $ > Substituindo os valores iniciais: > $ > s^2 \mathcal{Y}(s)- s\beta - \gamma+3s \mathcal{Y}(s) - 3\beta+2\mathcal{Y}(s)=\mathcal{X}(s) > $ > Como $x(t)=0$ para $t<0$: > $ > \mathcal{X}(s)=X(s)= \frac{\alpha}{s}, \Re(s)>0 > $ > Resulta em: > $ > \begin{aligned} > \mathcal{Y}(s)&=\frac{1}{s^2-3s+2}\left( \frac{\alpha}{s}+s\beta+\gamma+3\beta \right)\\ > &= \frac{\beta s^2 + (3\beta+\gamma)s + \alpha}{s(s+1)(s+2)},\Re(s)>0 > \end{aligned} > $ > Confirma-se que para condições iniciais nulas ($\beta=\gamma=0$): $\mathcal{Y}(s)=Y(s)$. > > c) com $\alpha=2$, $\beta=3$ e $\gamma=-5$ temos: > $ > \mathcal{Y}(s)=\frac{3s^2+4s+2}{s(s+1)(s+2)}, \Re(s)>0 > $ > > decompondo em frações simples: > $ > \begin{aligned} > \mathcal{Y}(s)&=\frac{A_{1}}{s}+\frac{A_{2}}{(s+1)}+\frac{A_{3}}{s+2}\\ > &= \frac{1}{s}-\frac{1}{s+1}+\frac{3}{s+2}, \Re(s)>0 > \end{aligned} > $ > os numeradores foram obtidos pelo [[método dos resíduos para a decomposição em frações simples]]: > $ > \begin{align} > A_{1} &= \left. [s \mathcal{Y}(s)] \right|_{s=0} = \left. \left[ \frac{3s^2+4s+2}{(s+1)(s+2)} \right] \right|_{s=0} = 1 \\ > A_{2} &= \left. [(s+1) \mathcal{Y}(s)] \right|_{s=-1} = \left. \left[ \frac{3s^2+4s+2}{s(s+2)} \right] \right|_{s=-1} = -1 \\ > A_{3} &= \left. [(s+2) \mathcal{Y}(s)] \right|_{s=-2} = \left. \left[ \frac{3s^2+4s+2}{s(s+1)} \right] \right|_{s=-2} = 3 > \end{align} > $ > > Calculando a transformada inversa: > $ > y_{b}(t)=[1-e^{-t}+3e^{-2t}]u(t) > $ > > Comparando com $y_{a}(t)$ com $\alpha=2$: > $ > y_{a}(t)=[1-2e^{-t}+e^{-2t}]u(t) > $ > > Como era de esperar, as condições iniciais não-nulas alteram a resposta transitória (as exponenciais amortecidas) mas não a resposta forçada. > [[tl-tlu-a03 propriedade da diferenciação]] < [[9-9 A transformada de Laplace unilateral (tlu)]] > [[tl-tlu-o40 eq dif ordem 3]]