# Problema (Retirado de O&W 9.40) Considere o SLIT causal caracterizado pela seguinte equação diferencial: $ \frac{d^3y(t)}{dt^3}+6 \frac{d^2y(t)}{dt^2}+11 \frac{dy(t)}{dt}+6y(t)=x(t) $ a) Determine a resposta do sistema ao sinal $x(t)=e^{-4t}u(t)$ considerando condições iniciais nulas. b) Determine a resposta natural do sistema ($x(t)=0$) para $t>0^{-}$ com as seguintes condições iniciais: $ y(0^{-})=1, y'(0^{-})=-1, y''(0^{-})=1 $ c) Determine a resposta do sistema quando o sinal de entrada for o indicado na alínea a) e com as condições iniciais da alínea b). > [!Solução]- > a) > $ > y_{a}(t)=\left[ \frac{1}{6} e^{-t} - \frac{1}{2}e^{-2t} + \frac{1}{2} e^{-3t} - \frac{1}{6} e^{-4t} \right]u(t) > $ > b) > $ > y_{b}(t)=e^{-t}u(t) > $ > c) > $ > y_{c}(t)=\left[ \frac{7}{6} e^{-t} - \frac{1}{2}e^{-2t} + \frac{1}{2} e^{-3t} - \frac{1}{6} e^{-4t} \right]u(t) > $ > > [!Resolução detalhada]- > a) Com condições iniciais nulas podemos usar a transformada de Laplace bilateral. Nesse caso a função de transferência é: > $ > H(s)=\frac{1}{s^3+6s^2+11s+6} > $ > > e a transformada do sinal de entrada: > $ > X(s)=\frac{1}{s+4}, \Re(s)>-4 > $ > > A transformada da saída será: > $ > \begin{aligned} > Y(s)&=\frac{1}{(s^3+6s^2+11s+6)(s+4)}\\ > &= \frac{1}{(s+1)(s+2)(s+3)(s+4)}\\ > &= \frac{1}{6} \frac{1}{s+1} - \frac{1}{2} \frac{1}{s+2} +\frac{1}{2} \frac{1}{s+3}- \frac{1}{6} \frac{1}{s+4}, \Re(s)>-1 > \end{aligned} > $ > > Invertendo, > $ > y_{a}(t)=\left[ \frac{1}{6} e^{-t} - \frac{1}{2}e^{-2t} + \frac{1}{2} e^{-3t} - \frac{1}{6} e^{-4t} \right]u(t) > $ > > b) Com condições iniciais não nulas é necessário recorrer à propriedade da [[propriedade da diferenciação no tempo da TLU]]: > $ > \begin{aligned} > & s^3 \mathcal{Y}(s)- s^2y(0^{-})-sy'(0^{-})-y''(0^{-})+\\ > & + 6s^2\mathcal{Y}(s)-6sy(0^{-})-6y'(0^{-})+\\ > & + 11s\mathcal{Y}(s)-11y(0^{-})+ 6\mathcal{Y}(s)=\mathcal{X}(s) > \end{aligned} > $ > Considerando que $\mathcal{X}(s)=0$ e > $ > y(0^{-})=1, y'(0^{-})=-1, y''(0^{-})=1 > $ > > $ > \mathcal{Y}(s)(s^3+6s^2+11s+6)=0 + s^2 -s +1 +6s-6+11 > $ > > ou seja > $ > \begin{aligned} > \mathcal{Y}(s)&=\frac{s^2+5s+6}{s^3+6s^2+11s+6}\\ > &= \frac{(s+2)(s+3)}{(s+1)(s+2)(s+3)}\\ > &= \frac{1}{s+1}, \Re(s)>-1 > \end{aligned} > $ > > Invertendo obtém-se a resposta natural do sistema: > $ > y_{b}(t)=e^{-t}u(t) > $ > > c) Fazendo agora: > $ > \mathcal{X}(s)=\frac{1}{s+4},\Re(s)>-4 > $ > > Retomando a equação da alínea anterior: > $ > \begin{aligned} > \mathcal{Y}(s)&=\frac{1}{s^3+6s^2+11s+6}\left( \frac{1}{s+4} + s^2+5s+6\right)\\ > &= \frac{1}{(s+1)(s+2)(s+3)(s+4)}+\frac{s^2+5s+6}{(s+1)(s+2)(s+3)}\\ > &= \frac{1}{(s+1)(s+2)(s+3)(s+4)}+\frac{1}{(s+1)}, \Re(s)>-1 > \end{aligned} > $ > > Invertendo obtém-se: > $ > y_{c}(t)=y_{a}(t)+y_{b}(t) > $ > ou seja, > $ > y_{c}(t)=\left[ \frac{7}{6} e^{-t} - \frac{1}{2}e^{-2t} + \frac{1}{2} e^{-3t} - \frac{1}{6} e^{-4t} \right]u(t) > $ > Como seria de esperar, a saída é soma da reposta natural ($y_{a}(t)$) com a resposta forçada ($y_{b}(t)$) > [[tl-tlu-a04 condições iniciais]]< [[9-9 A transformada de Laplace unilateral (tlu)]]