![[ss2425_exame1.pdf]] > [!Solução das questões de escolha múltipla]- > - Questão 1: c > - Questão 2: b > - Questão 3: b > - Questão 4: a > - Questão 5: e > - Questão 6: c > - Questão 7: f > - Questão 8: b > - Questão 9: c > - Questão 10: e > - Questão 11: e > - Questão 12: e > [!Solução do problema 1]- > > Usando a [[transformada de Laplace da exponencial real direita]], podemos obter $X(s)$ e $H(s)$: > $ > x(t) = e^{-t}u(t) \xrightarrow[\cal L]{} X(s)=\frac{1}{s+1}, \Re(s)>-1 > $ > $ > h(t) = (2e^{-t}-e^{-2t})u(t) \xrightarrow[\cal L]{} H(s)=\frac{2}{s+1}-\frac{1}{s+2}, \Re(s)>-1 > $ > A saída será $y(t)=h(t)\ast x(t)$. Usando a [[propriedade da convolução da TL]]: > $ > \begin{align*} > Y(s) &= H(s) X(s)\\ > &= \frac{s+3}{(s+1)(s+2)} \frac{1}{s+1}\\ > &= \frac{s+3}{(s+1)^2(s+2)}\\ > &=\frac{-1}{s+1} + \frac{2}{(s+1)^2}+\frac{1}{s+2}, \Re(s)>-1 > \end{align*} > $ > A transformada inversa pode ser obtida usando os [[pares de Laplace de exponenciais reais]]: > $ > \begin{align*} > y(t) &= -e^{-t}u(t)+2t e^{-t}u(t)+e^{-2t}u(t)\\ > &= \left[(2t-1) e^{-t}+ e^{-2t} \right] u(t) > \end{align*} > $ > O resultado pode ser confirmado com o [[teorema do valor inicial]]: > $ > y(0^+) = (0-1) + 1 = 0 > $ > e > $ > \begin{align*} > y(0^+) &= \lim_{s \rightarrow \infty} sY(s)\\ > &= \lim_{s \rightarrow \infty} \frac{s(s+3)}{(s+1)^2(s+2)}\\ > &= \lim_{s \rightarrow \infty} \frac{s^2+\ldots}{s^3+\ldots}\\ > &=0 > \end{align*} > $ > > [!Solução do problema 2]- > Se $x(t)$ tem período $T=2$: > $ > \omega_{0} = \frac{2\pi}{T} = \pi > $ > > Considerando [[sinal de duração finita]] $x_{1}(t) = x(t)$ no intervalo de um período $t\in [-1, 1]$: > $ > x_{1}(t) = \sqrt{3} \delta\left( t+\frac{1}{3} \right)+3\delta\left( t-\frac{1}{6} \right) > $ > > Podemos calcular os coeficientes da [[série de Fourier de tempo contínuo (SFC)]]: > $ > \begin{align*} > a_{k} &= \frac{1}{2} \int_{-1}^{1} x(t) e^{-jk\pi t }\, dt \\ > &= \frac{1}{2} \int_{-1}^{1} x_{1}(t) e^{-jk\pi t }\, dt \\ > &= \frac{1}{2} \int_{-1}^{1} \sqrt{3} \delta\left( t+\frac{1}{3} \right) e^{-jk\pi t }\, dt + \frac{1}{2} \int_{-1}^{1} 3 \delta\left( t-\frac{1}{6} \right) e^{-jk\pi t }\, dt \\ > &= \frac{1}{2} \int_{-1}^{1} \sqrt{3} \delta\left( t+\frac{1}{3} \right) e^{jk\pi \frac{1}{3}}\, dt + \frac{1}{2} \int_{-1}^{1} 3 \delta\left( t-\frac{1}{6} \right) e^{-jk\pi \frac{1}{6}}\, dt \\ > &= \frac{\sqrt{3}}{2} e^{jk \frac{\pi}{3} } + \frac{3}{2} e^{-jk\frac{\pi}{6}} > \end{align*} > $ > > [!Solução do problema 3]- > > a) O sinal $X_{c}(j\omega)$ pode ser representado em termos do [[degrau unitário de tempo contínuo]]: > $ > X_{c}(j\omega) = u(\omega+1200\pi)-2u(\omega)+u(\omega-1200\pi) > $ > Trata-se de um [[sinal de banda limitada]] com frequência máxima de $\omega_{M}=1200\pi$. > > Uma vez que o sinal é amostrado com o período $T_{s}=10^{-3}$, o sinal amostrado não se encontra nas condições do [[teorema da amostragem]], pois a frequência de amostragem não é superior ao dobro da frequência máxima do sinal: > $ > \omega_{s}=\frac{2\pi}{T_{s}}= 2000\pi \lt 2 \omega_{M} > $ > O processo de amostragem terá por isso _aliasing_ para as frequências $800\pi+k \omega_{s}\lt|\omega|<1200\pi+k\omega_{s}$ o que resulta na seguinte [[representação em frequência da amostragem ideal]]: > $ > X_{s}(j\omega) = 1000 \left[ u(\omega+800\pi)-2u(\omega)+u(\omega-800\pi) \right], \forall \omega \in [-1000\pi,1000\pi] > $ > Aplicando a [[conversão contínuo-discreto]]: > $X_d(e^{j\Omega}) = X_s\left(j\frac{\Omega}{T_{s}}\right)$ > ou seja: > $ > \Omega = \omega T_{s} = \frac{\omega}{1000} > $ > obtém-se: > $ > X_{d}(e^{j\Omega}) = 1000 \left[ u\left( \Omega+\frac{8\pi}{10} \right)-2u(\Omega)+u\left( \Omega-\frac{8\pi}{10} \right)\right], \forall \Omega \in [-\pi,\pi] > $ > b) O sinal de saída será o resultante da filtragem de $X_{s}(j\omega)$ pelo filtro de reconstrução ideal com resposta em frequência: > $ > H_{r}(j\omega) = \frac{1}{1000} [u(\omega+1000\pi) - u(\omega - 1000\pi)] > $ > O que resulta em: > $ > Y_{c}(j\omega) = u(\omega+800\pi)-2u(\omega)+u(\omega-800\pi) , \forall \omega \in \mathbb{R} > $ > > ![[ss2425_exame1_problema_3.excalidraw.svg]]